Приветствую вас, мои дорогие читатели. Вчера я общался в чате репетиторов и увидел, что коллеги попросили помощи в решении одной задачи. Когда я прочитал условие, то вспомнил, что сталкивался с похожей задачей на разборе олимпиады со своим учеником и еще видел похожую задачу в ЕГЭ по физике. Задача связана с натяжением нити математического маятника. И так как она вызвала серьезные затруднения у всех моих учеников, а также трудности возникли у коллег, то я решил подробно разобрать эту задачу. Надеюсь, что кому-нибудь заметка будет полезна.
Задача
Есть математический маятник или любое тяжелое тело на идеальной (невесомой и нерастяжимой) нити. Шарик отклонили на угол φ — максимальный угол отклонения шарика. Найти зависимость натяжения нити от угла α. Найти натяжение нити в нижней точке траектории (точке B).
φ — максимальный угол отклонения маятника (амплитудный угол)
α — текущий угол между вертикалью и нитью
Рисунок к задаче
Решение:
Из геометрии:
φ — угол амплитуды колебаний или максимальный угол отклонения маятника
α — текущий угол между вертикалью и нитью маятника, который находится в произвольном положении.
Запишем второй закон Ньютона для промежуточной точки C:
Спроецируем этот закон на ось, параллельную радиусу и направленную в центр окружности (точку крепления нити маятника). Учтем, что нормальное (центростремительное) ускорение в этом случае будет
где v — скорость в текущей точке, а L — длина нити маятника.
отсюда выражаем силу натяжения нити:
Из закона сохранения энергии выразим скорость шарика в текущей точке:
Вспоминая выражения для H и h через углы и длину нити, можем уточнить выражение для скорости:
Теперь полностью выразим силу натяжения нити для произвольного угла:
Заметим, что сила натяжения увеличивается с уменьшением угла α и доходит до своего максимума при прохождении положения равновесия. Теперь найдем решение для натяжения нити для точки B - точки положения равновесия.
Стоит заметить, что если мы отклоним шарик до условного потолка, то сила натяжения нити достигнет трех сил тяжести шарика, а если бы мы отклонили шарик еще выше, до верхней точки вертикали, то сила натяжения нити достигла бы пяти сил тяжести:
Вот такая получилась задачка с вопросами, которые вводят в заблуждения не только школьников, но и учителей, репетиторов. Хорошая задачка в целом, потому что легко запутаться из-за наличия двух углов: амплитудного максимального — φ и текущего угла полета — α. Вот из-за этого эта задача будет опасной для всех, кому она попадется на экзамене.
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Хотите больше задач по физике?
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram
