В этой заметке разберем одну из задачек по электродинамике. Постараюсь привести максимально подробное решение, которое будет полезно учащимся 1-2 курсов физико-математических факультетов. Кто скучал по электродинамике и интегралам - ставим жирный лайк, чтоб я чаще писал про это :) Доброго времени суток, друзья, мы начинаем...
Задача
Шар из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε и радиуса R заряжен сторонним зарядом q с объемной плотностью, линейно меняющейся от значения 0 в центре до максимального значения на поверхности шара. Считая, что шар находится в воздухе, определить потенциал во всей области изменения радиуса.
Решение:
Для начала нам нужно сделать рисунок к задаче. К любой задаче надо пытаться делать рисунок. Не потому что это нужно для кого-то или для красоты. Это нужно для того, чтобы наш мозг лучше визуализировал происходящее, строил абстрактные модели и логические цепочки.
1. По условию сказано, что плотность заряда диэлектрического шара меняется линейно, значит функционально мы можем выразить это так ( с проверкой граничных условий):
2. Нам задан именно общий заряд q, а не максимальная плотность. Поэтому эту неизвестную константу попробуем найти из условия нормировки.
3. Для начала найдем напряженность внешнего электрического поля (вне шара), а также потенциал вне шара. Для этого применим теорему Гаусса:
4. Теперь найдем напряженность электрического поля внутри шара. Для этого замкнутой поверхностью выберем сфера с радиусом r < R, центр которой будет совпадать с центром нашего шара. Симметрия подсказывает, что напряженность направленно радиально и одинакова по величине на всей поверхности. Применяем также теорему Гаусса. Учитываем, что внутри шара диэлектрик с заданной диэлектрической проницаемостью.
5. Теперь, зная внешнее и внутреннее поля, найдем потенциал внутри шара.
Первый интеграл в начале нашей формулы имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечно удаленной точки в точку на поверхности шара r = R. Второй интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда с поверхности шара внутрь на радиус r < R. Обратим внимание, что внешний и внутренний потенциал сшиваются на границе при r = R.
Задача решена.
Понравилась заметка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram