Сегодня снова о теории игр, точнее, об игре "Гарвард".
Правила:
В аудитории сидят люди. Каждый из них должен независимо от других написать на листке бумаги натуральное число от 1 до 100. Затем все листочки собираются, и у полученных чисел находится среднее арифметическое. Выиграл тот (или те), кто написал число, наиболее близкое к половине среднего арифметического.
Простой пример: пусть у нас только три человека, которые написали числа 40, 50 и 99. Среднее арифметическое этих чисел равно 63, его половина равна 31,5. Ближе всего к числу 31,5 (из представленных) число 40. Выиграл первый игрок.
Как выиграть в эту игру и что её результаты говорят нам о собравшихся?
Давайте представим, что изначально в эту игру играют не люди, а Рациональные Рептилоиды. Абсолютно все Рациональные Рептилоиды отлично знают математику и поступают математически безупречно. Как пройдёт игра в такой аудитории?
Все Рациональные Рептилоиды проведут такое рассуждение:
Среднее арифметическое любого набора чисел от 1 до 100 никак не больше 100. Значит, половина такого среднего арифметического никак не больше 50. Писать число больше 50 - бессмысленно.
Но все мои соседи тоже абсолютно рациональны, и значит, тоже это уже поняли.
Значит, на самом деле все напишут числа от 1 до 50, и среднее арифметическое будет лежать от 1 до 50. Но тогда его половина никак не больше 25. Значит, писать числа большие 25 тоже бессмысленно.
Но все мои соседи тоже абсолютно рациональны, и значит, тоже уже это поняли. Значит, они все напишут числа от 1 до 25.
Но это значит, что половина среднего арифметического будет не больше 12,5. Значит, бессмысленно писать числа большие 13.
Но все мои соседи тоже абсолютно рациональны, и значит, тоже уже это поняли...
Ещё через несколько таких однотипных итераций все Рациональные Рептилоиды дружно придут к выводу, что писать нужно число "1", все напишут число "1", и все выиграют. Так в рациональном мире победит дружба.
Люди, как известно, идеально рациональными существами не являются, и математику часть из них знает весьма посредственно. Поэтому в людском коллективе почти наверняка найдутся те, кто не сможет повторить рептилоидное рассуждение. Эти люди не напишут "1". И это повлияет на среднее арифметическое результата!
Таким образом, те люди, которые проведут правильное рассуждение, встают перед намного менее математической задачей: оценить, сколько именно людей в аудитории не смогут провести рациональное рассуждение.
Ещё один простой пример: Пусть в аудитории один Рациональный Рептилоид (который пишет 1), один обычный человек, который написал 10 и восемь крайне нерациональных людей, которые по неведомой причине решили написать 99. Среднее арифметическое равно 80,3, его половина равна 40,15, и выигрывает обычный человек.
С другой стороны, понятно, что предыдущий пример сработал потому, что в аудитории было очень много (по сравнению с остальными) очень нерациональных людей (потому что, конечно, вариант 99 довольно абсурден). Если нерациональных людей мало, и если даже они могут проделать хотя бы часть рационального рассуждения (догадаться, что половина среднего не может быть больше 50, например), то и каждому участнику будет выгодно действовать более рационально.
Последний простой пример: Пусть в аудитории четыре Рациональных Рептилоида (они пишут 1) и один средне-рациональный человек, который написал 50. Среднее арифметическое равно 10,8, его половина равна 5,4, Рептилоиды побеждают.
Таким образом, в данной игре выиграет тот игрок, чей ответ будет лучше всего характеризовать средний уровень рациональности собравшихся (или, более строго, среднее представление собравшихся о средней рациональности коллектива).
Таким образом, выигрышное число в игре "Гарвард" может служить неформальным показателем рациональности собравшихся (чем меньше - тем более рациональна группа). Алексей Савватеев в своих лекциях утверждает, что этот коэффициент на лекции Независимого Университета оказался несколько лет назад равен 4.
В общем, если вы когда-нибудь захотите узнать, насколько интеллектуальными считает друг друга некая группа людей - вы знаете, что делать!
Понравилась задача? А может, кто-то уже проводил такую игру? Какие результаты?
