Подготовка школьников к ЕГЭ и олимпиадам как правило строится по одной схеме: преподаватель приходит на занятие со своим перечнем задач, который они вместе с учеником или учениками вместе прорешивают.
Не важно, кто именно преподаёт: школьный учитель, частный репетитор или руководитель онлайн-курсов.
Не важно, кому преподают: отдельному ученику, мини-группе, классу и паре десятков или сотен абитуриентов, купившим курс.
Не важно, каков источник заданий: школьный учебник, отдельное пособие, авторские листочки, задания из Банка ФИПИ или варианты прошлых лет.
Во всех этих случаях именно преподаватель подбирает задания, а школьники решают то, что им принесли.
Это настолько устоявшийся подход к работе, что даже не возникает мысли о том, что его можно как-то разнообразить.
В этой статье хотелось бы поделиться другой формой работы, которая может значительно повысить продуктивность занятий.
Основная идея в том, чтобы использовать на занятиях задачи, выбранные учениками.
Прежде всего пара слов о том, при каких вводных эта идея работает.
1. Лучше всего это работает для учеников, которые занимаются где-то по верхней границе Высокобалльного уровня или уже находятся на Перечневом уровне.
На этом уровне много разнообразных содержательных задач и есть из чего выбрать.
2. Желательно, чтобы у ученика уже был крепкий фундамент углубленной математики. Чем крепче фундамент, тем больше пользы можно будет извлечь из задач.
3. Как правило, ученику нужно привыкнуть к преподавателю, который будет применять такую форму работы. То есть лучше прозаниматься сначала полгода-год по обычной схеме, а потом уже включать подобные необычные приёмы.
4. Преподаватель должен очень уверенно себя чувствовать на Перечневом уровне. То есть не только уметь решать большинство задач оттуда, но и понимать методическую составляющую их преподавания.
Суть же этого подхода проиллюстрируем сразу на конкретном примере.
Допустим вы провели с учеником очередное занятие по подготовке к олимпиадам, разобрали несколько типов заданий и обсудили все их нюансы и типичные затруднения при решении.
На дом для закрепления ученик получает задания, в которых используются схожие методы решения.
Это всё фиксированные задачи, которые преподаватель явно задаёт ученику.
Но дополнительно ему можно дать, например, ещё следующее задание.
Есть замечательный youtube-канал «Элементарная математика».
Его автор Игорь Тиняков последние 6 лет выкладывает высококачественные видеоролики на различные темы углубленной программы старших классов. Попутно он также иногда разбирает элементы высшей математики.
Так вот в качестве дополнительного домашнего задания можно попросить ученика зайти на этот канал и выбрать для себя 4-5 видеороликов, которые ему особенно понравятся.
А на следующем занятии можно будет разобрать некоторые из тех видео, которые отметил для себя ученик.
Так как это довольно необычное задание, то нужно сразу заранее с учеником обговорить, что ключевой элемент в нём – это интерес ученика.
Вполне нормально, если никакие из предложенных роликов ему не понравятся.
Или понравится 1-2 видео.
Или, наоборот, он откроет для себя бездну новой информации и захочет разобрать десяток-другой видео.
Или к ближайшему занятию он подберёт несколько роликов, а через две недели принесёт ещё порцию.
Каждый из этих вариантов запускает свой процесс работы.
Также желательно попросить ученика хотя бы за день до занятия переслать список ссылок на понравившиеся ролики.
Это нужно для того, чтобы преподаватель смог заранее ознакомиться с подборкой ученика и простроить следующее занятие с опорой на какие-то из выбранных задач.
Задание на поиск интересных видео не должно быть строго обязательным.
Не нужно пытаться во что бы то ни стало заставлять ученика отбирать какие-то видео, чтобы просто поставить галочку о проделанной работе.
Лучше не использовать такую форму работы, чем просто формально её выполнять.
Следующий важный момент – вам самим должны нравиться задачи с этого канала, манера подачи материала и сама идея такой работы с учеником.
То есть такая схема обучения будет продуктивной, когда включается не только интерес ученика, но и ваш личный интерес.
Именно поэтому желательно самому предварительно выбрать 10-15 видео, в которых вы нашли что-то полезное для себя: может быть в какой-то задаче сразу несколько способов решения, может быть где-то интересный подход, который вы сами редко используете, но который пригодится ученикам, может быть новый неизвестный для вас факт и т.д.
Даже если ученик в конечном счёте не найдёт для себя на канале ничего интересного, вы всё равно сможете потом использовать какие-то из этих видео в качестве отправной точки для объяснения новой темы или же в качестве закрепления.
Для примера допустим, что ученику понравились следующие видео с вышеупомянутого канала (их все можно найти поиском по названию видеоролика):
1. «Метод Феррари. Решение уравнений четвертой степени.»
Уместно хотя бы вкратце упомянуть, что такое формула Кардано (на этом же канале про неё тоже есть видео) и почему нет таких обобщённых формул для уравнений от пятой степени и выше.
2. «Неравенства о средних. Доказательство с картинки.»
В видео автор использовал несколько графиков для наглядного доказательства неравенств о средних. Можно продолжить этот сюжет на полуокружность и на трапецию (про трапецию и неравенства о средних там тоже есть отдельное видео).
Лично для себя именно из этого видео я узнал про среднее контргармоническое.
3. «Показать, что уравнение x³+y³+z³=41 не имеет решений в целых числах»
Здесь хорошая отправная точка для обсуждения уравнений в целых числах и их решения с помощью вычетов. Как минимум стоит дополнительно упомянуть про аналогичное свойство для кубов и остатков при делении на 7.
4. «Так говорил Брахмагупта»
Красивое геометрическое доказательство красивой геометрической формулы.
Чтобы эта формула отложилась в памяти, можно на занятии обсудить и классическое счётное её доказательство.
5. «Сумма ряда обратных квадратов»
На занятии можно дополнительно поговорить про ряды, про их сходимость, про расхождение гармонического ряда. Последний факт полезно доказать. Также можно обсудить, как без привлечения сложной математики показать, что ряд обратных квадратов ограничен сверху числом 2.
6. «Какое из чисел больше: e^π или π^e | График функции y=(lnx)/x»
Если ученик не знал про число Эйлера до этого, то уместно про это число поговорить. Также можно, продолжая тему видео, поисследовать различные важные графики функций.
7. «Укажите ур-е третьей степени с целыми коэф., имеющее своими корнями cos(2π/7), cos(4π/7) и cos(8π/7)»
С точки зрения подготовки к перечневым олимпиадам, это видео, кажется, самое содержательное. Тут можно поговорить и про векторы с единичной окружностью, и про хитрый тригонометрический приём домножения (который может вывести на целую тему “Тригонометрические последовательности”), и про теорему Виета для кубического трёхчлена.
Выше я указал, на что сам обратил бы внимание, если бы ученик предложил такую подборку. Но обязательно следует предварительно с учеником обсудить, что именно ему понравилось в каждом видео.
Как преподаватель вы могли обратить внимание на что-то одно, а ученик мог отметить для себя нечто иное – то, что для вас может быть просто очевидным или не заслуживающим внимания.
Отметим, что какие бы видео ученика не зацепили, они в любом случае будут ему полезны. На указанном канале много красивых доказательств и изящных рассуждений, которые показывают эстетику математики вне рамок подготовки к экзаменам и олимпиадам, прививают хороший математический вкус и развивают общематематический кругозор.
Желательно на занятии про каждое из предложенных учеником видео хотя бы некоторое время поговорить.
Если какие-то из видео находятся вне зоны вашей компетенции, честно скажите об этом ученику. Математика большая, невозможно всё знать во всех темах.
Для примера я выбрал канал «Элементарная математика», однако есть ещё несколько идейно похожих высококачественных каналов, которые также могут заинтересовать ученика:
а) GetAClass - Просто математика;
б) Математический Мирок;
в) SyberMath (на английском языке).
В принципе на youtube ещё много подобных видео и каналов.
Но отобрать наиболее качественные из них под такую схему работы – это как раз задача репетитора.
Просто сказать «Поищи где-то там в интернете какие-нибудь интересные ролики» бессмысленно – ученик утонет в потоке одинаково пустых видео а-ля «Ященко опять придумал гроб!»
Можно чуть иначе построить работу и использовать другие источники.
Например, книги вместо видео.
Шесть лет назад в нашей группе мы выложили подборку сборников задач-жемчужин.
В неё попали следующие пособия:
1. “Задачи для детей от 5 до 15 лет” (В.И. Арнольд)
2. “Математические изюминки“ (Хонсбергер Росс)
3. “Сто задач” (Г. Штейнгауз)
4. “150 красивых задач для будущих математиков” (А.Ю. Эвнин)
5. “75 задач по элементарной математике — простых, но…” (А.И. Островский)
6. “Математическая смесь” (А.А. Локшин, Е.А. Иванова.)
7. “Неожиданный шаг или 113 красивых задач” (А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир)
8. “От задачек к задачам” (М.А. Евдокимов)
9. “Алгоритмические головоломки“ (А. Левитин, М. Левитина)
10. “Капуста, неверные мужья и зебра“ (Алекс Беллос)
11. Puzzles 101: A Puzzlemaster's Challenge
Все эти задачники имеют следующие особенности:
а) в каждом не более 150 задач.
б) задачи разноплановые из разных разделов элементарной математики.
в) задачи красивые с изящными решениями.
Это как раз ровно те характеристики, которые позволят ученику легче найти что-нибудь интересное.
Видео же хороши тем, что как правило на превью хорошо видны условия задач или рисунки к геометрическим задачам.
Ученик может быстро скользить по ним взглядом. Так ему проще зацепиться взглядом за какие-то из них.
Да и сам разбор решений через видео современным школьникам привычнее.
Ещё один альтернативный источник задач – это тематические группы в ВК.
Есть две группы, которые регулярно выкладывают разноплановые содержательные задачи – это Незадача дня и Math–Досуг.
Правда, задач в них так много, что не стоит просить ученика шерстить их с самого начала. Поставьте ограничение – выбрать интересные задачи оттуда только за последний месяц или за два последних месяца.
А дальше возвращаться к этим группам время от времени, когда у них накопится ещё немного свежего задачного материала.
Вообще, такой подход в работе (то есть выбор учеником задач для занятия) нужен ещё и для того, чтобы у ученика появилась важная привычка: находить интересные задачи и пробовать их самостоятельно решать.
Нужно всячески поощрять это у учеников и в обязательном порядке разбирать задачи, которые те сами где-то нашли и принесли на занятие.
Кстати, именно поэтому для такой схемы работы нужен высокий класс преподавателя. Он должен не только уметь решать задачи «с колёс», но также должен уметь сцепить предложенный материал с тем, что они уже с учеником прошли или планируют пройти.
И повторюсь, не волнуйтесь, если какие-то принесённые учеником задачи иногда у вас не получаются. Покажите как вы рассуждаете, как заходите в тупик и как из него выбираетесь.
Даже если закончатся плодотворные идеи, всегда можно отложить задачу до следующего занятия и спросить её решение у коллег.
