5,8K подписчиков

Как решить дифференциальное уравнение (y''')²+(y'')²=1 ?

Господа и дамы, а вам не кажется, что у нас с вами давно не было дифференциальных уравнений? Я вам тут одно принес. Точнее в моём техночате задали вопрос. Поэтому я решил разобрать данную задачку подробно. Или всё-таки уносить её подальше? 🤭

А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡 Вам нужен репетитор? Напишите мне в telegram или в личные сообщения в VK.

📝 А теперь к решению...

Задача

Решить дифференциальное уравнение (y''')²+(y'')²=1

Решение:

Поначалу вас могут испугать производные высокого порядка. Но они легко убираются первой же заменой переменных:

Далее нам нужно выразить производную p' в явном виде, и не стоит нам бояться того, что справа получится корень "√". Это должно вам уже на этом этапе намекнуть на эллиптический интеграл... Шучу шучу. На arcsin(), ведь этот корень окажется в знаменателе при разделении переменных, что напомнит нам один из табличных интегралов.

Итак, разделяем переменные и интегрируем:

Далее немного упрощаем, взяв синус от обоих частей, чтобы оголить нужную функцию p(x). Используем прошлую замену переменных, будем постепенно возвращаться назад:

И ещё разочек аналогичные действия:

И проверку сделаем для успокоения души... Тут нужно провести обратные действия: найти нужные производные полученного решения и подставить в исходное ДУ (дифференциальное уравнение):

Вот и всё. А вот так будет вести себя график уравнения y(x), которое является решением (что-то похожее на сглаженную лесенку):

Есть еще особое решение данного ДУ

Особое решение нарушает принцип локальной единственности. Особым решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши. Простыми словами - есть такие точки, через которые может проходить более одной интегральной кривой по выбранному направлению.