6130 подписчиков

Разбор 11 задач по теме: показательные функции

14 марта 202314 мар 2023

262

4 мин

Оглавление

Задание 1
Задание 2
Задание 3

В этой статье я разберу с вами решение 11 задач с показательными уравнениями. Это будет полезно учащимся школ и студентам, которые испытывают трудности в решении типовых задач. Такие задачи часто связаны с упрощениями и заменой переменной. Иногда же требуется несколько преобразований и замечаний, чтобы довести решение до конца. В этой заметке будут не самые типичные и простые примеры. По сложности это будет примерно 4 из 5 для учащихся школы.

Хотите потренироваться в решении самостоятельно? Посмотрите задания по показательным функциям от самых простых до запутанных:

Показательные уравнения и неравенства. Задачи (PDF)

Если же хотите сразу перейти к разборам задач, то можете начать чтение...

Кстати, ранее на канале уже были статьи по этой теме:
Показательная, логарифмическая и степенная функции: разбор задач
Сложная система показательных неравенств
Сложная система показательных уравнений. Сможете решить?

Задание 1

Решить уравнение exp(x) + exp(-x) = 1 . Здесь будет небольшой подвох. Что если попытаться дойти до конца, игнорируя условия, которые мы получили при замене переменных в самом начале? Мы зайдем в комплексную область, да еще и получим довольно непривычные ответы для школьника.
Итак, решение...

Задание 2

Решить уравнение (0.2)^(x-0.5) / √5 = 5 ∙ (0.04)^(x-2). Здесь вроде бы всё стандартно, но основания 5 и 5² скрыты от глаз в виде десятичных дробей. Плюс добавлен корень для большего устрашения.

Задание 3

Решить уравнение (1 + b²)^√x = (1 + b²)^(4 - √x)
Это простое задание, но здесь вас хотят напугать параметром, который вы не знаете. В таких случаях учащийся думает, что имеется одно уравнение и двумя неизвестными. А ещё, когда ученик сталкивается с такой задачей в первый раз, то он совсем не ожидает того, что решением уравнения окажется неравенство.

Задание 4

Решить уравнение 4^(x+1) - 3 ∙ 2^x - 10 = 0. Это один из самых популярных случаев уравнения с показательными функциями. Данный случай приводится к квадратному уравнению. Здесь просто стоит заметить, что 4 является 2². А дальше воспользоваться свойством степеней, которые мы можем менять местами при их перемножении. Так мы увидим замену t = 2^x. Дальшее легче.

Задание 5

Решить уравнение 4^x + 3 ∙ 6^x - 4 ∙ 9^x = 0. Этот тип уравнений тоже скрывает под собой квадратные. Только здесь мы имеем уже два основания. Отдельно их не заменить, ведь тогда получатся две неизвестные переменные. Поэтому надо разделить на нужный коэффициент и заменить их отношение. Посмотрим как это сделать...

Задание 6

Решить уравнение 6^x - 9 ∙ 2^x - 2 ∙ 3^x + 18 = 0. В некоторых случаях удается обойтись без замены. Мы можем сгруппировать слагаемые и решить исходное уравнение, составляющие совокупность более простых уравнений.

Задание 7

Решить систему уравнений x + y = 1 и 4^x + 4^y = 5. Почти обычное показательное уравнение, только еще с добавочным линейным. Достаточно выразить одну переменную через другую, а потом подставить это выражение в другое уравнение.

Задание 8

Решить уравнение 4^cos(2x) + 4^cos²x = 3. Такие уравнения встречаются реже. Здесь в степени добавляется тригонометрия. Поэтому её нужно вспомнить для того, чтобы решить данное уравнение.

Задание 9

Решить уравнение 8^x - 4 ∙ 4^x - 3 ∙ 2^(x+1) + 9 = 0. Мы уже увидели, что после замены переменных часто получается обычное квадратное уравнение. Но что делать, если получается кубическое. Что ж, это немного сложнее, но частенько первый корень можно найти, перебрав делители постоянного коэффициента.

Задание 10

Решить уравнение (√(5 + 2√6))^x + (√(5 - 2√6))^x = 10. Опять разные основания, но уже сложнее, чем задаче 5, так как просто разделить на какую-то часть уже не получится. Здесь нужно увидеть закономерную связь между корнями, а также заметить как можно было бы их упростить, выделив полный квадрат из подкоренного выражения.

Задание 11

Решить уравнение 8∙(4^x + 4^(-x)) - 54∙(2^x + 2^(-x)) + 101 = 0. Здесь опять квадратное уравнение, но более скрытая замена. Можно, конечно же, без замены, но с ней выражения становятся проще.