В нашем чате физиков, математиков и разработчиков Physics.Math.Code снова подкинули интересную задачку на нахождение суммы, связанной с факториалами. Как мы видим, выражение в заголовке представляет собой сумму конечного числа членов ряда, каждый из которых представляет собой произведение текущего номера члена ряда на факториал этого же номера k∙k!
В общем, когда с такой задачей ни разу не сталкивался, то могут возникнуть трудности. Однако, не стоит сдаваться. Используя основное определение факториала, мы сможем заметно упростить наше выражение.
Что такое факториал? Это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Математически это выражается как n! = 1∙2∙3∙..∙(n-1)∙n
Обозначим за S = 1∙1! + 2∙2! + 3∙3! + ... + (n-1)∙(n-1)! + n∙n!
Распишем конечный член ряда, который можно воспринимать как текущий: k∙k! = ((k + 1) - 1) ∙ k! = (k + 1)∙k! - k! = (k + 1)! - k!
Теперь перепишем нашу сумму таким образом, чтобы каждый слагаемое вместо k∙k! представить как (k + 1)! - k!
Тогда сумма получится следующей:
S = [2! - 1!] + [3! - 2!] + [4! - 3!] + [5! - 4!] + [6! - 5!] + [7! - 6!] + ... + [(n-2)! - (n-3)!] + [(n-1)! - (n-2)!] + [n! - (n-1)!] + [(n+1)! - n!]
Видно, что некоторые слагаемые внутри суммы попарно сокращаются, а остаются только второе и предпоследнее: S = (n+1)! - 1
Решение целиком картинкой
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram