Вторая публикация из цикла, посвящённого советам по построению графиков функций. С первой можно ознакомиться здесь:
1) Правила 1(ш)-8(ш)
Довольно простым (но не единственным) типом выражений, позволяющим сформулировать некоторые обобщённые рекомендации, является сумма или разность функции и её модуля.
Правило 1(ф)
Для изображения графика
y = f(x) ± |f(x)|
на основе y = f(x), нужно сначала построить график функции y = 2·f(x), а затем его часть, лежащую в нижней / верхней полуплоскости заменить прямой горизонтальной линией, совпадающей с осью абсцисс (y = 0). В качестве частного случая, более удобного для реализации правила, можно рассматривать вариант с полусуммой / полуразностью:
y = ¹/₂ ·(f(x) ± |f(x)|)
График такой функции есть график y = f(x), у которого лежащая в нижней/верхней полуплоскости часть заменена фрагментами линии y = 0. На рисунках ниже схематично показан вариант с полуразностью, а также конкретный пример из задания А-73 с полусуммой для линейной функции
y = x.
Обосновывается правило довольно просто. В случае полусуммы это выглядит так:
Описанный приём ещё сильнее расширяет возможности по составлению («конструированию») заданий. Рассмотрим это на таком примере.
1) Берём параболу – график квадратичной функции y = x²;
2) Переворачиваем её вокруг оси абсцисс: y = –x² (Правило 3(ш));
3) Поднимаем вверх на единицу: y = 1 – x² (Правило 1(ш));
4) Части ветвей параболы, оказавшиеся в нижней полуплоскости, заменяем прямой горизонтальной линией: y = ¹/₂ ·((1 – x²) + |1 – x²|) (Правило 1(ф), вариант с полусуммой).
5) Поскольку |–a| = |a| и 1 – x² = –(x² – 1), то после равносильной замены получаем функцию, построение графика которой разбиралось в задаче А-4:
Часть приёмов можно охарактеризовать как использующие функции со сложным аргументом. Строго говоря, к этой группе можно отнести и Правило 7(ш) , где в качестве такого аргумента выступает линейная функция ax + b.
Правило 2(ф)
Для изображения графика
y = f(|x|)
все точки линии y = f(x), лежащие в левой полуплоскости, отбрасываются, а часть графика f(x) из правой координатной полуплоскости зеркально отражается в левую, симметрично оси ординат (обоснование правила для функции с областью определения x ∈ (a; b) приведено в разборе задачи А-72).
Приём можно рассматривать как способ построения графика функции, аргумент x которой заменён функцией модуля числа g(x) = |x|, что делает f(|x|) чётной («симметризует» f(x)). Иллюстрация применения описанного правила приведена ниже для функции, определённой на интервале (a; b) для случая, когда 0 < a < b
и когда a < 0 < b
Рассмотрим применение правила, «сконструировав» график из задачи А-5:
1) Берём график линейной функцию y = –x и применяем к ней Правило 1(ф):
y = –x + |–x| = |x| – x
2) Смещаем то, что получилось, на 1 вправо (Правило 1(ш)):
y = |x – 1| – (x – 1)
3) «Отзеркаливаем» часть графика из правой полуплоскости в левую, применив Правило 2(ф):
y= | |x| – 1 |– (|x| – 1)
Описанные промежуточные построения и итоговый график приведены на рисунке ниже.
Здесь хотелось бы заметить, что для получения функции с нужным графиком иногда можно действовать разными путями. Покажем это на таком примере:
1) Берём график функции y = |x| (он, как было показано выше, имеет вид «галки») и смещаем на единицу вправо (Правило 2(ш)):
y = |x – 1|
2) Симметризуем график, применяя Правило 2(ф) – заменяем x на |x| и получаем при этом функцию, идентичную разбиравшейся в комментарии к Правилу 8(ш):
y = | |x| – 1 |
Сказанное иллюстрируется на рисунке:
Правило 3(ф)
График для
при x ⩽ 0 представляет собой линию y = f(0), а при положительных значениях аргумента совпадает с графиком f(x). Аналогично, график
при x ⩽ 0 совпадает с графиком f(x), а при положительных значениях аргумента он есть линия y = f(0),
Как видно, здесь в качестве сложного аргумента выступает функция
g(x) = (x + |x|)/2. Вот два примера из разбора задачи А-73 (там же рассмотрено и обоснование правила), демонстрирующие применение приёма:
Рассмотрим ещё один подбор выражения функции с нужным графиком.
1) Берём равенство, описывающее верхнюю половину окружности единичного радиуса с центром в начале координат:
2) Смещаем график на единицу влево заменой x на x + 1 (Правило 2(ш)):
3) Применяем Правило 3(ф), заменяя аргумент полуразностью – при этом к полуокружности с правой стороны добавится горизонтальная прямая линия:
4) Смещаем теперь график на единицу вправо (Правило 2(ш)):
5) Применяем Правило 2(ф), чтобы замена x на |x| позволила присоединить слева ещё одну горизонтальную линию:
Именно такая функция фигурировала в заданиях А-44 и А-45. Ниже изображены описанные этапы её конструирования:
Особо хотелось бы отметить такой момент: излагаемые здесь рекомендации можно использовать для составления не только задач на построение графиков. Вот в разборе применения Правила 1(ф) уже была упомянута функция
y = ¹/₂ ·(|1 – x²| – (x² – 1))
Она за пределами интервала значений аргумента (–1; 1) имеет нулевое значение, а внутри него – совпадает с y = 1 – x². Из этого несложно сделать вывод, что при добавлении операции извлечения квадратного корня мы получим функцию
график которой вне (–1; 1) также есть линия y = 0, а внутри него совпадает с
– является полуокружностью. Но ведь точно также выглядит и график у
Значит имеет место равенство
из которого получается тождество, разбиравшееся в задании А-102:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik