В школьном курсе математики есть тип задач, который обобщённо можно назвать заданиями по изображение на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют некоторому количеству условий. Частным случаем таких упражнений является построение графиков функций, которые, в свою очередь, тоже можно разделить на два подвида. Первый (условно назовём его для удобства «классическим») относится к работе с изучаемыми учениками элементарными функциями – линейной, квадратичной, показательной и т. д. Второй подвид задач связан с понятием производной и началами анализа и характеризуется отдельным комплексом приёмов, применяемых для выяснения поведения функции (нахождение асимптот, областей возрастания и убывания, точек разрыва и перегиба).
В предлагаемой вашему вниманию серии заметок (сегодня опубликована первая из них) я, сделав акцент на «классике» и исходя из своего опыта, попытался сформулировать набор правил, которые можно применять не только при решении задач обсуждаемого типа, но и при составлении самих заданий – это, во-первых, объясняет использование слова «конструктор» в заголовке, а, во-вторых, позволяет адресовать данную публикацию не только ученикам, но и преподавателям. Разумеется, предлагаемый набор не претендует на полноту охвата темы. Помимо графиков функций отдельное внимание в нём будет уделено соображениям, касающимся других разновидностей задач обсуждаемого здесь типа – построения графиков уравнений, неравенств и их систем.
Возможно мне не везде удалось соблюсти достаточную математическую строгость формулировок и потому остаётся лишь выразить надежду, что содержимое публикаций не вызовет праведный гнев у людей, сведущих в математике лучше меня. С другой стороны – было бы интересно услышать от них отзывы о данном цикле заметок.
С учётом традиционного способа изображения на плоскости прямоугольной декартовой системы координат для простоты дальнейшего изложения будут
использоваться термины для обозначения направлений в соответствии со схемой на рисунке:
Давайте сначала вспомним изучаемые в школе элементарные приёмы, ведь они, не смотря на простоту, весьма важны. Пусть мы знаем вид графика функции y = f(x) в области её определения. Основываясь на этом можно построить такие графики.
Правило 1(ш)
График функции
y = f(x) + b
получается смещением графика для y = f(x) по вертикали на b единиц: вниз – если b < 0 и вверх, если b > 0.
Правило 2(ш)
График
y = f(x + b)
получается смещением графика y = f(x) по горизонтали на b единиц: вправо – если b < 0 и влево – если b > 0.
Правило 3(ш)
График
y = –f(x)
получается «переворачиванием» графика y = f(x) по вертикали (как бы на 180° «вокруг» оси абсцисс с «выходом» линии графика из координатной плоскости).
Правило 4(ш)
График
y = f(–x)
получается «переворачиванием» графика y = f(x) по горизонтали (как бы на 180° «вокруг» оси ординат с «выходом» линии графика из координатной плоскости).
Описанное правило больше применимо к функциям общего вида. Если же f(x) обладает свойством чётности или нечётности, то полезно учитывать, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной – относительно начала координат. В связи с этим может оказаться, что построение удобнее выполнить только для положительных значений аргумента, ведь затем нетрудно достроить недостающую симметричную часть. Здесь же уместно упомянуть и о возможном наличии у функции свойства периодичности, благодаря которому достаточно построить её график на отрезке значений аргумента длиной, равной периоду, а затем полученную кривую многократно продублировать параллельным переносом вправо и влево. В частности, упомянутые свойства функций были использованы в ходе решения задач А-63 (чётность):
и А-31 (нечётность и периодичность):
Правило 5(ш)
График
y = a·f(x)
получается масштабированием графика функции y = f(x) по вертикали в а раз. Если 0 < a < 1 – это «сжатие», а если a > 1 – «растяжение», которые выполняются относительно оси абсцисс (линии y = 0).
Правило 6(ш)
График
y = f(ax)
получается масштабированием графика функции y = f(x) по горизонтали в а раз. Если 0 < a < 1 – это «растяжение», а если a > 1 – «сжатие», которые выполняются относительно оси ординат (линии x = 0).
Правило 7(ш)
График
y = f(ax + b)
получается из графика y = f(x) в два приёма, для выполнения которых удобнее f(ax + b) представить в виде
y = f(a·(x + b/a))
Соответственно, сначала нужно сместить график f(x) по горизонтали на b/a (вправо – если эта величина отрицательна, влево – если положительна – см. Правило 2(ш)), а затем отмасштабировать результат в a раз в горизонтальном направлении относительно линии x = b/a (растянуть, если 0 < |a| < 1, и сжать, если |a| > 1 – см. Правило 6(ш)). В случае, если a < 0, то получившуюся линию нужно будет ещё перевернуть по горизонтали относительно всё той же линии x = b/a (см. Правило 4(ш)).
Перечисленные приёмы в «классических» заданиях способны дать довольно ограниченный ассортимент вариантов. Думается, что именно по этой причине составители задачников (да и я сам) обожают использовать настоящую «козырную карту», коей является Его Величество Модуль (sic!), позволяющий сильно разнообразить вид кривых, изображаемых в декартовой системе координат. Обычно в школе рассматривается вот такая рекомендация.
Правило 8(ш)
Чтобы построить график функции
y = |f(x)|
основываясь на графике y = f(x), нужно его часть, лежащую ниже оси абсцисс (в нижней полуплоскости), зеркально отразить в верхнюю полуплоскость.
Вообще для решения подобных задач необходимо рассмотрение вариантов, возникающих при разных знаках под модульных выражений. Такой подход продемонстрирован на примере функции
y = | |x| – 1 |
в заметке «О равносильных преобразованиях (для школьников)» и там же было упомянуто о возможности обойтись последовательным применением описанных здесь выше правил. Действительно, возьмём график функции y = x и зеркально отразим относительно оси абсцисс его часть, лежащую ниже этой оси на полуплоскость положительных значений y (Правило 8(ш)) – при этом получится график функции y = |x| в виде «галки» (а).
Сдвинем его на единицу вниз (Правило 1(ш)), то есть изобразим график функции y = |x| – 1 (б).
Теперь остаётся ту его часть, оказавшуюся ниже оси абсцисс («носик» «галки»), снова отразить вверх (Правило 8(ш)), на положительную полуплоскость (в).
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik