Тот, кто хорошо помнит школьную математику, легко сможет назвать функции, обладающие свойством периодичности – синус, косинус, тангенс и котангенс. Некоторые, возможно, припомнят, что ещё есть секанс и косеканс.
Существует, однако, функция, тоже обладающая периодичностью, но к тригонометрическим, как перечисленные выше, не относящаяся. Про неё иногда школьникам рассказывают на уроках – это дробная часть числа y = {x} . Я некоторое время назад «игрался» с этой функцией, получив в итоге целую россыпь интересных (ну, по крайней мере, мне они таковыми кажутся) упражнений для школьников, которые опубликованы на сайте и дзен-канале. При этом сложно было не подметить некоторую взаимосвязь {x} с тригонометрией, вполне отчётливо проявившуюся в некоторых случаях. О них далее и пойдёт речь.
Из разборов задач А-26 и А-29 следует, что уравнения
{y} – {x} = 0
и
sin(πy– πx) = 0
имеют одинаковые графики, то есть – совпадающие множества решений и потому равносильны друг другу:
Согласен, что совпадение множеств решений не так много значит (например, уравнения x² = 0 и ln(x + 1) = 0 тоже имеют одинаковый корень x = 0). Однако выявлены ситуации, когда {x} оказывается увязанным с тригонометрией непосредственно в одном равенстве. Так, в задаче А-33 был построен график функции y = arctg(tg x):
Здесь вполне просматривается похожесть его на график функции дробной части числа, изображение которого на координатной плоскости разбиралось в упражнении А-17:
В комментарии к А-33 был показан график y = arcctg(ctg x), обладающий ещё большим сходством:
Для усиления похожести его несложно модифицировать:
1) «Сжать» график y = arcctg(ctg x) по вертикали (в направлении оси ординат) в π раз:
y₁ = 1/π·arcctg(ctg x)
2) «Сжать» по горизонтали (в направлении оси абсцисс), тоже в π раз:
y₂ = 1/π·arcctg(ctg(πx))
Получившаяся функция почти полностью совпадает с y = {x} за исключением целых значений аргумента, при которых y₂(x) не определена (на её графике будут «проколы» в этих точках), а функция дробной части равна нулю. Иными словами, если x ∉ ℤ, то выполняется равенство
(1): {x} = 1/π·arcctg(ctg(πx))
Данную ситуацию, кстати, легко исправить, доопределив y₂(x) следующим образом:
Приведённый способ записи с фигурной скобкой вполне общепринят, хотя мне представляется, что в более строгой форме это будет запись в виде объединения двух систем, между которым и выражением функции дробной части числа можно поставить знак равносильности:
Равенство, когда дробная часть числа выражена через арккотангенс от котангенса справедливо с определёнными оговорками, но мне удалось обнаружить соотношения, такими ограничениями не отягощённые. В задаче А-32 был построен график функции y = arccos(cos x):
Выполним с ним следующие преобразования.
1. «Сожмём» график y = arccos(cos x) по вертикали (вдоль оси ординат) в 2π раз:
y₁ = 1/(2π)·arccos(cos x)
2. График y₁ тоже «сожмём» в 2π раз, но уже по горизонтали (вдоль оси абсцисс):
y₂ = 1/(2π)·arccos(cos(2πx))
3. «Перевернём» график y₂ умножением на –1:
y₃ = –1/(2π)·arccos(cos(2πx))
4. «Поднимем» график y₃ вверх добавлением к нему половины единицы:
y₄ = ¹/₂ – 1/(2π)·arccos(cos(2πx))
В итоге получится ломаная линия, полностью совпадающая с графиком функции y = |{x} – ¹/₂| (см. ответ к задаче А-17):
Выходит, что ∀ x ∈ ℝ имеет место вот такое необычное равенство:
(2): ¹/₂ – 1/(2π)·arccos(cos(2πx)) = |{x} – ¹/₂|
Ещё более мудрёное соотношение можно получить из графика функции arcsin(sin x) (см. упражнение А-31):
1. «Сожмём» график y = arcsin(sin x) в горизонтальном направлении в π раз:
y₁ = arcsin(sin(πx))
2. «Сожмём» график y₁ в вертикальном направлении в π раз:
y₂ = 1/π·arcsin(sin(πx))
3. Точки графика y₂ , лежащие ниже оси абсцисс, «отразим» в верхнюю полуплоскость при помощи модуля:
y₃ = 1/π·|arcsin(sin(πx))|
4. «Перевернём» график умножением y₃ на –1, а затем то, что получилось, «поднимем» вверх на половину единицы:
y₄ = ¹/₂ – 1/π·|arcsin(sin(πx))|
График y₄ полностью совпадает с графиком y = |{x} – ¹/₂| , поэтому можно заключить, что для всех действительных x справедливо выражение:
(3): ¹/₂ – 1/π·|arcsin(sin(πx))| = |{x} – ¹/₂|
Из одинаковости правых частей (2) и (3) вытекает, что если приравнять левые их части, то после упрощения можно получить ещё одно соотношение (α ∈ ℝ):
arccos(cos 2α) = 2·|arcsin(sin α)|
Затрудняюсь сказать, тянет ли на полноценное строгое доказательство справедливости (1), (2) и (3) факт совпадения графиков функций, но как такое можно выполнить иначе, у меня пока идей нет, вместо них в наличии лишь сомнения в достаточности собственных знаний по математике для этого.
В заключение заметки стоит вспомнить и об открытости вопроса практической пригодности выведенных формул – подозреваю, что здесь, как и в случае с «параметром круглости», имеет место лишь мозговая гимнастика, обобщающая результаты группы школьных задач.
См. также: