Здорова, ребятки! Давно у нас не было разборов задач из математического анализа. Сегодня в чат физиков был задан интересный вопрос про нахождение центра масс кривой. Поэтому сегодня мы с вами разберем классическую задачу уровня 1-го курса физико-матетических факультетов. Условие задачи на доске. Прочитайте и попробуйте решить самостоятельно. А если не получится, то разбор будет ниже в статье...
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡 Вам нужен репетитор? Напишите мне в telegram или в личные сообщения в VK.
Задача
Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L : x = √3∙t² и y = t⁴, где 0 ⩽ t ⩽ 1.
Решение:
Для лучшего зрительного понимания сразу построим график кривой:
Видно, что в базисе XOY фигура будет несимметрична, поэтому у центра масс будут отличные от нуля координаты, а также не равные между собой.
У нас однородная кривая, т.е. её плотность не зависит ни от чего, не зависит от координат, поэтому является константой.
Для данной задачи есть такое важное понятие, как статический момент Sx. Статический момент Sx системы материальных точек относительно оси OX называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты, т.е. на расстояния этих точек от оси Ox. Аналогично определяется статический момент Sy:
Если массы распределены непрерывным образом, то понадобится интегрирование.
Статические моменты позволяют установить положение центра тяжести (центра масс) кривой.
Центром тяжести материальной плоской кривой y = f(x) называется точка плоскости, обладающая следующим свойством. Если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой y = f(x) относительно той же оси. Обозначим C(xc; yc) центр тяжести кривой AB. Тогда из определения центра тяжести следует:
Тогда получим координаты центра масс:
Для нашего случая, когда кривая задана в параметрическом виде:
Расписывая выражения, получим довольно сложные интегралы:
Интеграл в знаменателе не особо сложный, поэтому посмотрим его решение полностью:
А вот интегралы в числителях берутся довольно долгими преобразованиями, которые опустим в данной статье. Результаты будут следующими:
Тогда ответами для центра масс получатся следующие координаты:
Альтернативный вариант
Если присмотреться к функции, которая в исходном виде задана параметрически, то её можно легко выразить явно. И это получается ветка обычной всем знакомой параболы:
Тогда интегралы становятся немного проще, но всё равно представляют собой рутины из множества упрощений и преобразований:
Важно помнить, что при переходе к другим интегралам, у нас изменяются пределы интегрирования... Окончательно получаем такие же ответы:
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram