Давно у меня не было геометрических задач в виде статей. Если такой формат интересней видео, ставьте сразу лайк.
Задача несложная. 8 класс, уровень — отличник.
Дан прямоугольник со сторонами 60 и 80, в который вписаны две красные и две зелёные окружности, радиусы которых нужно найти. Смотрите рисунок.
Если хотите подумать сами, то дальше листать пока что смысла нет.
Решение
С нахождением радиуса красной окружности, надеюсь, все справились. По сути, мы имеем четыре радиуса, которые равны длинной стороне прямоугольника.
Получается, что 4R = 80, откуда следует что R = 80 : 4 = 20.
С поиском радиуса зелёной окружность немного посложнее. Чтобы его найти, нужно соединить центры красной и зелёной окружностей. А потом построить прямоугольный треугольник, как на рисунке ниже.
Гипотенуза в этом прямоугольном треугольнике известна — (R+r). Жёлтый катет тоже известен — R. А вот чёрный катет нужно найти. Как? Из соображений симметрии и равенства окружностей одинакового цвета делаем вывод, что расстояние от длинной стороны до точки касания красных окружностей равно половине короткой стороны прямоугольника, то есть 30. А раз так, то чёрный катет равен (30-r).
Теперь записываем теорему Пифагора: (R+r)² = R² + (30-r)².
Не забываем, что радиус зелёной окружности мы уже нашли, он равен 20. Подставляем его в формулу и раскрываем скобки, не забывая применять формулы сокращенного умножения.
(20+r)² = 20² + (30-r)²;
400 + 40r + r² = 400 + 900 - 60r + r²;
Квадраты сокращаются, поэтому у нас даже квадратного уравнения не получится. Приводим подобные слагаемые и выходит, что 100r = 900, откуда следует, что r = 900/100 = 9.
Всё, задача решена. Если было понятно и интересно ставьте лайк, подписывайтесь на мой Телеграм (когда Дзен перестаёт показывать мои публикации, вы всё равно сможете ничего не пропустить), а ниже ещё несколько задач по геометрии:
