Это весьма сложная задача. Она встречалась на вступительных испытаниях в некоторые технические университеты (в Кембридже в частности) и на собеседованиях в крупные IT-компании, типа Amazon.
В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, как показано на рисунке ниже. И два вопроса: 1) нужно найти площадь прямоугольника и 2) отыскать площадь минимального треугольника, удовлетворяющего этих условиям.
Первый вопрос разминочный, на него ответит каждый, кто хоть немного помнит школьную геометрию, а вот второй вопрос серьезный, который отсеивает самых умных от просто умных — как раз то, что нужно для собеседований.
Рекомендую взять листок бумаги с карандашом и немного подумать самостоятельно, а уже потом листать дальше. Или поделитесь задачей у себя в соцсетях, чтобы потом не потерять.
Решение
Сначала найдем площадь прямоугольника. Это легко. Смотрите рисунок ниже. Красный и зеленый треугольники подобны по двум углам (не буду подробно расписывать из чего следуют такие выводы — это уж совсем просто). Поэтому длины соответствующих стороны имеют одинаковое отношение и мы можем записать 4:х=y:3. Теперь перемножим крест-накрест по правилу пропорции и получим x•y=4•3=12 — это и есть площадь прямоугольника.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Площадь большого треугольника складывается из суммы трёх площадей: площади красного треугольника, площади синего прямоугольника и площади зеленого треугольника (рисунок выше и рисунок ниже).
Так как стороны прямоугольника x и y, то площадь большого треугольника S▲= 4x/2 + xy + 3y/2. Но мы знаем, что xy=12. Отсюда y=12/x. Тогда S▲=2x + 12 + 18/x = f(х) — площадь треугольника является функцией, зависящей от х.
Чтобы найти минимум функции f(x), нужно взять производную. f'(x)=2-18/x². Чтобы найти минимум функции, приравняем производную к нулю: 2-18/x²=0; x²=9. Так как x — это длина, то нас интересуют только положительные значения, а значит, x=3. Понять, что х=3 — это точка минимума функции можно либо с помощью метода интервалов (смотри картинку ниже), либо с помощью второй производной f''(x)=36/x³=36/27>0. Раз вторая производная в этой точке положительна, то это в самом деле точка минимума.
Таким образом минимальная площадь треугольника будет при х=3. Тогда минимальная площадь треугольника, удовлетворяющего условиям, будет равна min(S▲)=6+12+6=24. Любопытно получается, что это как раз тот случай, когда красный и зеленые треугольники равны.
Как вам? По-моему отличная задача для собеседования. Она проверяет не столько логику, сколько понимание того, для чего нужны производные, ведь в школе многие вычисляют их чисто механически, не понимая, зачем это вообще нужно в реальной жизни.
Ещё интересно: