Откуда берутся понятия? Детский врач против Гильберта. Вначале было слово. Причём здесь физика и математика
Помню, в школе меня озадачили утверждения Гильберта, что невозможно определить, что это такое — точка и прямая линия. Я ещё спросил у учительницы: "а как же окружность?". Она ответила: "Не умничай, окружность имеет определение!"
Приблизительно в то время я посмотрел, как работает плотник дядя Вася. Он говорил:
— Нельзя кривые доски в пол укладывать!
— А как же Вы определяете, кривые они или прямые?
— А вот смотри! — он положил доску на верстак, провёл линию, затем перевернул, приложил доску к нарисованной линии. — Видишь? Линии не совпадают! А по середине будет как раз прямая!
Вон оно что! Оказывается, не было у Гильберта в детстве знакомого плотника! Поэтому он так и не узнал, что же это такое — прямая линия!
Ещё я слышал, как женщина-врач объясняла молодой мамаше.
— У ребёнка сначала появляются смутные образы. Потом он много-много раз возвращается к этим образам, постепенно их уточняет. Когда ты с ним разговариваешь, он постепенно начинает связывать образы со словами.
Тут я окончательно убедился, что не был никогда Гильберт ребёнком, он сразу стал взрослым и гениальным.
«В начале было Слово» — фраза, с которой начинается «Евангелие от Иоанна». Вот уже около двух тысяч лет учёные, каждый на свой лад, обсуждают, что же означает эта фраза?
На мой взгляд, человек стал именно Homo sapiens'ом, человеком разумным, когда научился разговаривать. И здесь мы возвращаемся к исходному вопросу темы: "Откуда всё-таки берутся понятия?".
Вначале у младенца формируются лишь смутные образы, но, по мере усвоения новых знаний, он тысячекратно возвращается к прежним понятиям, постепенно их уточняя. Мы называем здесь этот процесс рекурсией познания. Лозунг “Практика есть критерий истины” является лишь частным случаем этого метода.
Именно таким методом человек определяет для себя все понятия, в том числе — фундаментальные и сугубо абстрактные.
Самое беглое знакомство с лингвистикой убеждает, что развитые национальные языки представляют собой мощные системы взаимосвязанных понятий, каждое из которых с огромной точностью может быть определено через другие. Такое устройство языка (между прочим — стихийное!) очень адекватно окружающему нас единому взаимосвязанному миру и выгодно отличает его от иерархических философских построений, в которых все понятия определяются через так называемые простейшие, остающиеся, в результате, неопределимыми.
На самом деле определение “простейших” понятий отдаётся в этом случае на откуп случайных (зачастую — мистических) представлений. Недаром философы, проповедующие такие построения, до изнеможения спорят друг с другом, вместо того, чтобы выяснить, что же каждый из них понимает под тем или иным словом.
Конструкторы оснований геометрии и других наук стремятся создать полную систему предложений, на основе которых все другие зависимости получались бы как логические следствия. Нетрудно, однако, заметить, что, поскольку эти основания излагаются на конкретном национальном языке, то впереди всех формальных аксиом, строго говоря, необходимо постулировать аксиомы известности каждой применяемой лексической конструкции, а их количество значительно превышает количество тех высказываний, которые принято преподносить в качестве аксиом! Ясно, далее, что лексические конструкции могут быть определены только через другие лексические обороты, а поскольку все понятия языка взаимосвязаны и рекурсивны, то на самом деле при изложении оснований геометрии и других наук мы пользуемся весьма значительным багажом знаний, заключённых в бытовом языке. Получен этот багаж с помощью рекурсии, которую так старательно избегают в дальнейших изложениях поклонники строгой иерархии.
Если мы проанализируем изложенное выше заблуждение (в частности, заложенное в основания геометрии Гильбертом) о невозможности определения простейших понятий, то легко найдём корни этого заблуждения. Они заключаются в том, что большинство философов, физиков и математиков рассматривают термины, не как общественно сложившиеся лексические единицы, отражающие результаты нашего анализа окружающего мира (т.е., элементы сознания), а как нечто, установленное свыше. Что интересно, многие философы, называющие себя материалистами, не только не избежали этого заблуждения, но тоже яростно его защищают – видимо, для них слова “категория сознания”, что красная тряпка для быка! Даже церковные мыслители признают, что Бог дал человеку разум, а знания он должен добывать себе сам.
Суть рекурсии состоит в том, что возврат к изученному должен осуществляться на новом, более высоком уровне знаний, т.е. имеется в виду не только переход от упрощённого изложения к более строгому, но и использование, при повторном рассмотрении, знаний, полученных между этими витками изучения.
На этом фоне утверждение Гёделя о недостаточности аксиом утрачивает свою актуальность.
Гильбертовский агностицизм парализовал многие основания наук, но особенно сильно ударил по философии. Фактически философы должны были определить важнейшие понятия человечества: материя, пространство, время. А что мы имеем?
«Пространство» – форма существования материи. Какую информацию несёт это определение? То же самое пишется и про «время».
Для физики, например, понятие «материя» слишком общо. Для неё более актуальным было бы определение «материальный объект».
Материальный объект – это некоторая особенность пространства, проявляющая себя взаимодействиями с другими материальными объектами, что вызывает их изменение во времени и пространстве.
Рекурсивные определения не обязаны представлять собой какие-то компактные односложные предложения. Они могут быть изложением истории появления понятия и способов измерения величины параметра, обозначаемого этим понятием. Таким, на мой взгляд, является понятие «время».
Подчеркнём ещё раз, что все понятия являются категориями сознания и определены нормами национальных языков. Одним из примеров рекурсивного устройства национальных языков являются толковые словари, которые с эффективной точностью отображают необходимые понятия и отклоняются от этой практики только в философских и гильбертовских понятиях.
Несомненной нормой языка для понятия «пространство» является: «то, в чём всё расположено», некоторое обобщение цепочки: пространство комнаты, пространство города, воздушное, космическое пространство. В этом определении подразумевается, что все особенности: стены, молекулы, звёзды – являются материальными объектами, а пространство чисто геометрическое. Если исходить из этого определения, то эйнштейново пространство – это новая материальная сущность, тот же эфир. Определение того, насколько его свойства соответствуют действительности – задача физиков.
Хотя здесь неоднократно утверждалось, что все понятия – категории сознания, но схожесть – практическая одинаковость системы понятий в разных национальных языках, начиная с древних времён, говорит о том, что утверждения многих философов (Канта) о непроходимой стене между «вещами в себе» и сознанием являются ложными. Существующая система понятий вполне адекватно отображает окружающий мир, за исключением указанных выше случаев, когда гильбертовские представления эклектически введены в эту систему.
Возвращаясь к основаниям геометрии, заметим, что теперь мы можем однозначно определить понятия: точка, прямая, плоскость – и получить нетривиальные результаты.
Рекурсия познания и основания геометрии
Изложение доказательств даже некоторых следствий вышеизложенного заняло бы несколько глав. Поэтому расскажем об этих следствиях тезисно. Читатель может самостоятельно оценить возможные пути доказательств. В случае появления вопросов, они могут быть представлены в отдельных темах.
Сфера обычно определяется как множество точек, равноудалённых от заданной: она получается как множество положений одного из концов циркуля, если другой конец закреплён в заданной точке.
В последнем предложении, неявно подразумевается, что при любых изменениях положения циркуля его раствор не меняется, т.е., пространство однородно и изотропно.
Среди физиков (да и математиков) было много дискуссий по вопросу однородности и изотропности реального пространства. Существует, однако, одно соображение, которое делает этот вопрос неактуальным для геометрии и, вообще, математики.
Когда древние строили геометрию, они считали само собой разумеющимся, что влияние материальных объектов на геометрические свойства фигур должно быть исключено. Как потом оказалось, факторы этого влияния могут быть весьма разнообразными: температура, силовые поля, ветер, различные оптические искажения и т.д. Но, как только эти влияния становились известными, человек находил способы вносить соответствующие поправки.
Чисто теоретически можно представить себе такое устройство, которое сохраняет расстояние между двумя своими точками неизменным при любом перемещении, компенсируя изменения физических условий специальными способами, вплоть до введения расчётных поправок.
Ясно, что таким способом можно компенсировать влияние любых полей, в том числе — вызывающих преобразования Лоренца (используемые также и теорией относительности).
Назовём описанное выше устройство идеальным циркулем. В обыденной жизни обыкновенный циркуль с огромной точностью удовлетворяет изложенным требованиям. Фактически, процедурой получения идеального циркуля, мы определили способ построения однородного изотропного пространства.
Может появиться вопрос, а что если существуют ситуации, когда раствор циркуля меняется, но никаких физических последствий это не вызывает, и, следовательно, упомянутое изменение никак не может быть обнаружено?
Чистейшая умозрительность поставленного вопроса (отсутствие физических последствий) со всей убедительностью показывает, что однородное изотропное пространство может быть введено всегда. Обратим внимание, что авторы многих учебников, ратующих за строгую иерархию доказательств, довольно безапелляционно используют неизменность раствора циркуля, не балуя обучаемых не только аксиомой, но и простым сообщением.
Слово “прямая” на общепринятом языке означает “не кривая”. Нет никакого сомнения, что именно это значение имел в виду Евклид и все древние. Вполне вероятно, что уже тогда был известен способ проверки линейки её переворачиванием, широко применяемый плотниками и слесарями до настоящего времени. Идея этого переворачивания очевидна: две кривизны, складываясь с противоположным знаком, уничтожают друг друга.
Пользуясь этой идеей, можно привести несколько способов построения прямой линии чисто геометрическими методами, без привлечения физических свойств тел (натягивания шнура, пропускания луча света и т.п.), без шаблона (линейки), одним лишь циркулем.
Первый напрашивающийся способ — это проведение линии, равноудалённой от двух дуг окружностей одинакового радиуса, но противоположной выпуклости. Здесь мы должны заметить, что окружность, в отличие от прямой, вполне чётко определена во всех учебниках геометрии.
Второй способ вытекает из первого, но проще по исполнению. Этот способ известен как построение перпендикуляра через середину отрезка (см. рис.1).
Понятие “кривизна” встречается на поздних этапах изучения геометрии. Ничто, однако, не мешает ввести его в основания геометрии. Как известно, кривизной называется величина, обратная радиусу окружности, аппроксимирующей кривую в заданной точке.
Тогда прямую мы можем определить как линию нулевой кривизны. Нет никакого сомнения, что именно так интерпретировали это понятие древние и именно в таком вполне однозначном смысле слово “прямая” применяется в общепринятой норме языка.
Ну, и в заключение подраздела для развлечения – картина сложения волн от двух источников.
На рисунке видно, как пересечение волн образует прямую линию. Аналогичный процесс создаёт идеальную плоскостность граней кристаллов.
О доказательстве 5-го постулата Евклида
На основе определения понятия «прямая» 5-й постулат Евклида, о который сломано так много копий, доказывается как простое следствие этого определения. Напишем предложение, эквивалентное 5-му постулату Евклида:
Эквидистантная линия (ЭЛ), расположенная в одной плоскости с произвольной прямой, есть прямая и притом перпендикулярная перпендикуляру исходной прямой (ИП).
Доказательство этого предложения и его эквивалентности 5-му постулату читатель может оценить сам. При необходимости оно может быть изложено в отдельной статье.
То, что однородность и изотропность пространства неминуемо приводит к 5-му постулату Евклида, не является новостью, однако исторически сложилось, что длительное время, а во многих учебниках и сейчас, эта взаимосвязь остаётся в тени. Между тем исключение 5-го постулата из ОГ делает геометрию неопределённой. Ввод же предложений, альтернативных этому постулату, требует определения законов, по которым меняется метрика пространства. Формулируя эти законы, конструкторы неевклидовых геометрий неминуемо, явно или неявно, все изменения размеров циркуля отсчитывают от его первоначального раствора, т.е., используют понятия евклидовой геометрии.
Поэтому Евклидова геометрия не просто одна из многих и даже не первая среди равных, а, в сущности, она является единственной основой всех геометрических построений, не теряющих, разумеется, своей полезности оттого, что могут быть сформулированы в рамках единой науки. Современные математики, собственно, и не скрывают, что под «прямой» в их пространствах может подразумеваться вовсе и не прямая, и они – эти пространства – искривлены по определению самым произвольным образом.
Интересны в этой связи исследования итальянского математика Д. Саккери, жившего на рубеже 17 и 18 веков. Он доказывал 5-й постулат, используя свойства прямоугольных четырёхугольников. Я не разбирался в тонкостях его доказательств, но современные аналитики утверждают, что ему удалось доказать, что отрицание 5-го постулата приводит к абсурду «тупых углов» в этих прямоугольниках. В то же время эти аналитики считают, что опровержение в случае «острых углов» неубедительно. С моей точки зрения четырёхугольник с острыми углами имеет смежный четырёхугольник с тупыми углами. Если для последних теорема доказана, то автоматически она доказана и для случая острых углов, ввиду очевидности утверждения: сумма смежных углов на прямой линии, пересечённых другой прямой линией, равна двум прямым углам. Последнее утверждение, в сущности, является другой формулировкой 5-го постулата. Для кривых в общем случае с учётом более высоких приближений, чем линеное, эта формулировка несправедлива.
Саккери остался приверженцем справедливости 5-го постулата (хотя современные исследователи считают, что он был чуть ли не предтечей неевклидовой геометрии). Он утверждал, что 5-й постулат является следствием особых свойств прямых линий.
Что касается попыток определения кривизны реального пространства из астрономических наблюдений, то:
- базовые астрономические расстояния определены из условия равенства суммы углов треугольника двум прямым, поэтому трудно ожидать от этих наблюдений другого результата;
- если даже какими-то наблюдениями было бы обнаружено отклонение от вышеупомянутого равенства, то причину этого отклонения необходимо искать во влиянии физических факторов на инструментарий и способ измерения: кривизну траектории фотонов или других частиц, релятивистские изменения в веществе и т.п. При нахождении таких факторов ввод соответствующих поправок вернёт нас в евклидово пространство. Вообще говоря, если бы теория относительности появилась сейчас, то изгибание и растягивание времени и мнимориманового пространства расценили бы как не очень удачный пиар-ход.
Можно смело утверждать, что метод рекурсии позволит не только доказать все аксиомы, но и улучшить доказательство других теорем, при этом нет никакой необходимости с самого начала “нагружать” учеников бессмысленными с их точки зрения абстрактными понятиями в угоду строгой иерархии.
Вторая сигнальная система и физика
«Если наши ощущения и представления, относящиеся к окружающему нас миру, есть для нас первые сигналы действительности, то речь, это вторые сигналы, сигналы сигналов. Они допускают обобщение, что и составляет высшее мышление, создающее общечеловеческий эмпиризм и науку — орудие высшей ориентировки человека в окружающем мире и самом себе».
Из высказываний И. П. Павлова
В физике сейчас существует огромное количество всевозможных теорий, которые так или иначе пытаются изменить нормы языка о пространстве и времени. Первой в этом ряду стоит теория относительности (ТО).
Казалось бы, приведённая цитата Ивана Петровича Павлова даёт на это право: ведь все понятия являются категориями сознания. Однако, если мы учтём, что эйнштейново пространство на самом деле представляет новую сущность, то выяснится, что под этим пространством замаскировался все тот же “эфир”, да ещё в виде предельно плотной все заполняющей субстанции с невероятно жёсткими свойствами.
Другие теории вводят дополнительные измерения в категорию «пространство-время», не давая определения этим измерениям. На самом деле под этими наукообразными словами замаскирован ввод новых сущностей. С какой целью подменяются понятия – загадка. Ввод новых сущностей давал в физике плодотворные результаты, пример – теория электрона, разработанная Дираком.
Некоторые теории манипулируют словами: «параллельные вселенные», не замечая их абсурдности. Во-первых, под термином «Вселенная» в норме языка подразумевается всё сущее, поэтому ничего дополнительного быть не может. Во-вторых, если какая-то субстанция параллельна нашей, то по определению она не пересекается с последней, и, следовательно, не имеет для нас никакого значения, а если пересекается, то она не параллельна.
PS
На некоторых форумах, в том числе – на Дзене, обсуждаются теоремы Гёделя о неполноте арифметики натуральных чисел. Моя позиция по этому вопросу изложена в комментариях на настоящую статью.
