Задача: Один угол треугольника равен 120°, а сторона, выходящая из вершины этого угла, в три раза меньше суммы двух других его сторон. Найдите отношение сторон треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим стороны AB и AC за x и y соответственно. Тогда по теореме косинусов сторона BC = √(x^2 + y^2 - 2xy * cos 120°) = √(x^2 + xy + y^2) (см рисунок)
По условию x/(y +√(x^2 + xy + y^2)) = 1/3, отсюда 3x = y+√(x^2 + xy + y^2) и тогда √(x^2 + xy + y^2) = 3x - y. Решим данное уравнение:
√(x^2 + xy + y^2) = 3x - y | возведём обе части уравнения в квадрат
x^2 + xy + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2
8x^2-7xy = 0
x(8x - 7y) = 0 | делим обе части на x (x ≠ 0, поскольку x - сторона квадрата)
8х - 7y = 0
8x = 7y
x = 7y/8
Выразим стороны треугольника через y: AB = 7y/8; BC = 3*7y/8 - y = 21y/8 - y = 13y/8.
Тогда отношение сторон AB : AC : BC = 7y/8 : y : 13y/8 = 7 : 8 : 13.
Ответ: 7 : 8 : 13.
Задача решена.