Пару дней назад заметил интересную задачу в беседе сообщества Physics.Math.Code (там сидят любители физики, математики и программирования). Один из участников пришёл с теоретической задачей по термодинамике ВУЗовского уровня сложности. Задача очень просто формулируется (если вы знаете, что ∂ означает частную производную), но подступиться к решению задачи довольно трудно. Термодинамика у физиков в основном проходится на 2-м курсе универа, однако, не все студенты хорошо ориентируются в этом хаосе из страшных формул.
Сегодня я попробую подробно объяснить вам решение такой задачи, а по ходу дела буду выводить необходимые формулы и соотношения. Готовы? Тогда погнали! :)
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡 В моем telegram я выкладываю компактные решения в виде pdf. Советую подписаться :)
Задача
Доказать, что верно термодинамическое соотношение:
Решение:
Так или иначе, доказательство справедливости такого выражения упирается в соотношения Максвелла для термодинамических параметров. Поэтому, давайте подумаем с вами, как нам подобраться к этим соотношениям и хотя бы немного понять откуда они берутся.
Вспомним первое начало термодинамики, которое выражается в формуле:
По определению теплоемкости можно написать:
Если рассматривать внутреннюю энергию как функцию объема и температуры, то полный дифференциал будет:
Подставим в выражение для теплоемкости и получим:
При постоянном объеме обнулится производная за скобкой и мы получим теплоемкость при постоянном объеме Cv:
Заметим, что при известной теплоемкости при постоянном объеме, данное выражение позволяет установить зависимость внутренней энергии от объема и температуры, т.е. получить калорическое уравнение состояния. Сложность заключается в том, что теплоемкость может зависеть от температуры и объема Cv = Cv(V, T).
Соотношения Максвелла
Из известного свойства полных дифференциалов функции нескольких переменных следует равенство частных производных:
Для внутренней энергии
Для энтальпии
Для свободной энергии Гельмгольца
Для потенциала Гиббса
Данные выведенные соотношения между частными производными называются соотношениями Максвелла. С их помощью можно выводить формулы, определяющие связь между различными термодинамическими функциями или параметрами.
Зависимость внутренней энергии от объема
Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов устанавливает, что изменение внутренней энергии равно:
Рассмотрим изменения внутренней энергии в обратимом изотермическом процессе в качестве важного примера применения соотношений Максвелла. Для начала возьмем частную производную по объему при постоянной температуре от обоих частей уравнения первого начала термодинамики:
С учетом соотношений Максвелла можно записать:
Здесь можно сделать интересное замечание:
Для идеального газа правая часть превращается нуль, в силу независимости внутренней энергии идеального газа от объема. Полученное соотношение помогает устанавливать зависимость внутренней энергии от объема, если известно уравнение состояния вещества.
Рассматривая исходное соотношение, подставляя выражение для теплоемкости, меняя порядок частных производных и используя предыдущие соотношения, можно получить:
Что и требовалось доказать нам в исходной постановке задачи. Вот такая получилась задачка. Было ли вам сложно? Интересно? Понятно? Напишите в комментариях. А то мы давненько с вами не разбирали вузовских задач. Пора возвращать эту славную традицию и увеличивать сложность. Или летом не хочется читать сложные статьи? 😏
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram
