Краткость — сестра таланта или глупости? Или глупо расписывать подробности, когда можно пропускать действия? Но как тогда учить, если не расписывать всё подробно, раскладывая по полочкам каждое действие? Ответьте на этот вопрос в комментариях. Ибо мой опыт говорит мне о том, что большинство школьников и студентов затрудняются быстро расписать «очевидные» вещи из решебников/интернетов/книг.
Чрезмерная краткость речи иной раз превращает её в загадку.
Блез Паскаль
Я не люблю решения задач на сайтах для подготовки к ЕГЭ. Каждый раз одно и то же. Если человек (учащийся, школьник, любопытный) не понимает как решать задачу, то он и не поймет, заглянув в готовые решения. Если же человек знает как решать задачу, то ему не сдались вот эти вот объяснения с большинства этих сайтов. Нет, я не хочу сказать, что сайты плохи. Просто они не отвечают на многие вопросы, которые могут возникнуть у решающего (начинающего физика).
Ну и какой тогда смысл в их «очевидных» решениях на две-три строчки? Для чего? Школьники не понимают более половины решений сложных задач. Куча пропущенных действий, магия, «очевидные доказательства» неочевидных вещей. И после этого у ребят (у умных ребят) остается много много вопросов.
Недавно в одном тесте ЕГЭ по физике я наткнулся на две задачи по термодинамике. Они сильно отличаются своей сложностью. Забавно, что более сложная задача идет в тесте раньше. Сегодня я хочу разобрать эти две задачи как можно подробнее для своих читателей. Да, это будет не идеально, но это будет подробнее, чем вам расскажут на решу-егэ.
Чаёк заварили? :) Тогда погнали читать...
Задача 1 (задача 10 из ЕГЭ по физике)
На рисунке показан график зависимости модуля среднеквадратичной скорости Vср.кв. атомов одноатомного идеального газа от объёма V газа в некотором процессе 1→2. Количество атомов газа в течение этого процесса не изменяется. На основании анализа представленного графика выберите все верные утверждения.
1) В процессе 1→2 газ совершает положительную работу.
2) В процессе 1→2 внутренняя энергия газа уменьшается.
3) В процессе 1→2 давление p газа возрастает прямо пропорционально объёму V газа.
4) В процессе 1→2 газ отдаёт некоторое количество теплоты окружающим телам.
5) Процесс 1→2 является изобарическим.
Решение:
Эта задача идет под номером 10, но она заметно сложнее следующей (11-й). Итак, приступим к решению и попытаемся сделать его максимально подробным.
Первый пункт является верным, потому что это видно заданного графика: газ расширяется, увеличивает объем, следовательно работа газа положительна по определению. Согласны? Значит ставим 1 - верно.
По второму пункту уже нужно думать. У нас нет графиков для внутренней энергии, но мы помним, что она зависит от температуры. Можем ли мы догадаться как ведет себя температура в процессе 1→ 2 ? Если да, то прекрасно, а если нет, то придется начать писать формулы. Но вы же именно поэтому и заходите читать канал? Потому что тут всегда (ладно, почти всегда) всё подтверждается математикой :)
Средняя квадратичная скорость — это корень из средней арифметической величины квадратов скоростей всех отдельных молекул. Почему нужны квадраты? Для того, чтобы мы могли найти среднюю скорость, нам нужны квадраты или модули скоростей, если же мы будем интегрировать (суммировать) вектора скоростей, то интеграл (сумма) даст нам 0, что явно следует из распределения Максвелла молекул по скоростям. Поэтому для оценки энергии нам нужна какая-то беззнаковая величина, связанная со скоростью.
Итак, с одной стороны кинетическая энергия одного атома газа представима в виде (1/2)·m·v², с другой стороны из распределения Максвелла следует, что на одну поступательную степень свободы приходится энергия, связанная с температурой k·T/2, что говорит нам о том, что для одноатомного газа, каждый атом которого обладает тремя поступательными степенями свободы, на каждый атом приходится (3/2)·k·T. Приравнивая эти энергии, мы можем оценить среднюю квадратичную скорость.
Уже отсюда видно, что при росте ср.кв. скорости растет и температура, а значит и внутренняя энергия. Значит ставим 2 - неверно.
Некоторые формулы всё равно придется запомнить, потому что нет времени на их вывод. Однако, это не отменяет того факта, что большую часть вам нужно понимать и уметь вывести при необходимости. С учетом уравнения состояния газа и формулы молекулярно кинетической теории (МКТ) получим необходимые для нас соотношения:
Далее мы будем использовать важное соотношение: k/m₀ = R/M
Теперь мы можем немного преобразовать формулу для средней квадратичной скорости:
Далее нам стоит обратить внимание на график из условия. Можно ли из него получить привычную и любимую нами p-V диаграмму? Да, можно.
Тогда получаем следующий график зависимости давления от объема. Это тоже прямая пропорциональность, как мы убедились из формул, но наклон этой прямой, разумеется другой. Уже на этом этапе мы четко видим поведение давления газа. Значит ставим 3 - верно и значит 5 - неверно, потому что ни о какой изобаре уже речь идти не может, согласны?
В p-V диаграмме работать привычнее, потому что она самая популярная для учащихся при изучении газовых процессов. Плюс в этой диаграмме проще всего считать работу газа как площадь под графиком (или как интеграл от p·dV в более сложных случаях).
По 4-му пункту уже тоже можно догадаться. Согласно первому началу термодинамики, к газу подводят теплоту, а не отводят. Потому что газ расширяется (совершает положительную работу A>0) и нагревается, т.е. изменение внутренней энергии у него тоже положительно ΔU>0. Следовательно, Q = ΔU + A > 0, т.е. газу ПЕРЕДАЛИ теплоту, а НЕ ЗАБРАЛИ. Значит ставим 4 - неверно.
Верные ответы по данной задаче: 1 и 3.
А что если бы нас спросили о поведении внутренней энергии газа в данном процессе? Мы бы ответили, что с увеличением средней квадратичной скорости внутренняя энергия растет квадратично. Вот почему:
А как найти работу газа в этом процессе? Что ж, если бы у нас было достаточно данных из графика, то мы смогли бы найти работу до числа. Но на данном этапе мы можем найти общую формулу, что тоже будет полезно для многих более сложных задач. И да, здесь по‑прежнему можно обойтись без интегрирования, ведь в p-V диаграмме площадь под графиком соответствует площади трапеции для нашего случая. А формулу площади трапеции мы знаем (должны знать к концу 11-го класса):
А вот чистая математика без пояснений, для тех, кто любит краткость:
Задача 2 (задача 11 из ЕГЭ по физике)
Один моль идеального одноатомного газа совершает адиабатическое сжатие. Как изменяются в результате такого процесса давление и температура газа? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Решение:
Первое начало термодинамики говорит нам о том, что количество теплоты Q, переданное газу, идет на увеличение его внутренней энергии ΔU и на совершение газом работы A. Формулой выражается так: Q = ΔU + A. Конечно же здесь нужно учитывать, что каждая из этих величин может быть как положительной, так и отрицательной и даже нулевой.
По первому предложению задачи у нас указано адиабатическое сжатие. Значит у нас нет теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс), т.е. газ не получает и не отдает количество теплоты: Q = 0.
Также мы знаем, что газ сжимают, поэтому работа газа отрицательно, а работа внешних сил положительна (по модулю эти работы равны).
Получается, что Q = 0 = ΔU − |A| откуда ΔU = |A| значит изменение внутренней энергии положительное, что говорит о положительном изменении температуры, что говорит о том, что температура T увеличивается.
Вспомнив уравнение состояние идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) p·V= μ·R·T, мы можем выразить давление p = μ·R·T / V где температура увеличивается, а объем уменьшается. Т.е. отношение T / V увеличивается, значит и давление p - увеличивается.
Как видим, эта задача (в ЕГЭ она идет под номером 11) разбирается практически устно. Но, разумеется, можно структировать кратко с формулами:
Вы заметили, что 10 задача сложнее, чем 11 задача? Как часто такое бывает в ЕГЭ. Поэтому учащийся должен не слишком долго останаливаться на решении первых задач. Потому что даже в самом конце может быть задаче проще, чем в самом начале. Парадоксально, но факт.
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram