Соскучились по электричеству и магнетизму, друзья? :) В этой статье мы максимально подробно разберем типичную задачу на RL-цепи. Такие задачи начинают проходить в 11-м классе в физико-математических лицеях, а затем возвращаются к ним в университете примерно на 2-м курсе физ-мата. Но в чем же особенность этих задач? Во-первых, большинство не понимает как их решать. Во-вторых, большинство боится этих задач, потому что не понимает. Этот ужасный круг замыкается. Потому что даже хорошие школьные учителя не берутся объяснять эти задачи. Но это не беда, ведь вы читаете блог самого крутого репетитора на всём Диком Западе 🤠 ( ладно... шучу шучу... я просто люблю физику и стараюсь изо всех сил объяснять её максимально понятно ).
Итак, переходные процессы. Тема, которая наводит ужас на всех. Что за процессы и кто там переходит? Давайте дадим какое-нибудь определение.
Переходные процессы в электрической цепи — это процессы, которые количественно описывают переход какой-либо величины (тока, напряжения, заряда) из одного установившегося состояния в другое установившееся состояние под действием какого-либо возмущения, спровоцированного, допустим, внешним воздействием или же нестабильностью самой системы.
Переходные процессы возникают в цепи тогда, когда в ней находятся нелинейные элементы, которые способны накапливать энергию или изменять свои параметры в зависимости от токов, зарядов, напряжений, магнитных потоков. Такие элементы имеют нелинейные вольт-амперные характеристики (ВАХ).
Если говорить точно, то любой реальный электрический элемент имеет типичные характеристики нелинейного элемента, такие как емкость (C) и индуктивность (L). Вопрос только в том, можем ли мы пренебречь этими нелинейностями в контексте конкретной задачи. Например, реальный резистор может представлять из себя катушку стального провода. Но что тогда его отличает от реальной индуктивности? И там, и там у нас катушка, схематический рисунок которой мы помним с 10 класса. Чаще всего отличие катушки индуктивности (дросселя) от катушки со стальной проволокой на керамическом цилиндре (в виде резистора) заключается в наличие у первой ферромагнитного сердечника, который усиливает индуктивный эффект в несколько раз. Вот и получается, что резистор тоже будет обладать какой-то индуктивностью. Однако, в большинстве случаев, мы можем ею пренебречь. Также как в типичной задаче по механике на «бросок под углом к горизонту» мы не учитываем размеры тела и эффект вращения при полете. То есть считаем его материальной точкой.
А теперь достаточно болтологии, любая физика должна подкрепляться математикой. Рассмотрим следующую задачу.
Задача
Катушка, обладающая индуктивность L, соединена с источником питания с ЭДС E и двумя одинаковыми резисторами R. Электрическая схема показано на рисунке 1. В начальный момент времени ключ замкнут. В момент времени t = 0 ключ размыкают, что приводит к изменениям силы тока, регистрируемым амперметром, как показано на рисунке 2. Основываясь на известных физических законах, объясните, почему при размыкании ключа сила тока плавно уменьшается к значению I₁ . Определите значение силы тока I₁. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
Решение:
Замечание 1. Ключ был замкнут, поэтому одно из сопротивлений было зашунтировано в самом начале, то есть ток шел в обход, только через одно сопротивление.
Начальный ток, до манипуляций с ключом, был равен
Замечание 2. Когда ключ разомкнули, то мы добавили еще одно сопротивление, по сути увеличили общее активное сопротивление цепи в два раза.
Конечный ток также легко найти, если время устремить в бесконечность, т.е. чтобы прошло достаточно много времени для прохождения всех нелинейностей:
Замечание 3. Но что будет между этими моментами? Для ответа на этот вопрос, нам нужно решить дифференциальное уравнение, которое получается в результате записи второго закона Кирхгофа для нашего контура.
Катушка индуктивности не дает быстро убрать ток или быстро повесить ток. Она как будто бы такой консерватор, который хочет, чтобы всё было как раньше, не хуже и не лучше 😊
Это «консервативное» поведение катушки индуктивность отражается в формуле ε = − L × dI/dt , в которой знак «минус» означает, что ЭДС самоиндукции действует так, чтобы индукционный ток препятствовал изменению магнитного потока. Ведь, если мы имеем хотя бы один виток, то проходящий по нему ток будет создавать магнитное поле (Закон Био-Савара-Лапласа), а магнитное поле создаст магнитный поток. Значит индукционный ток будет всегда направлен против тока, вызванного внешней электродвижущей силой (ЭДС). Вспомним о правиле Ленца:
Индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток.
А теперь подойдем к вопросу математически…
Последнее выражение является точным решением для тока. Если мы внимательно на него посмотрим, то увидим экспоненциальное убывание, границы которого будут лежать на пределах t → 0 и t → ∞ (бесконечность)
Также можно построить график:
Итак, задача решена четко, математически, количественно. Это дает объяснение того, почему в RL-цепях нет возможности резко снизить напряжение на нагрузке, если просто разорвать цепь ключом/рубильником.
Проблемы самоиндукции из реальной жизни
Физика не оторвана от реальной жизни. Поэтому знание законов естествознания помогают избежать некоторых проблем. Явление самоиндукции часто возникает на коммутирующих устройствах, при подключении и отключении катушек соленоидов, в промежуточных реле, в электромагнитных пускателях. При подаче напряжения на катушку создается магнитное поле, образуется электродвижущая сила, которая противодействует мгновенному росту тока, проходящему через катушку. Один ток вызван внешней ЭДС, другой ток вызван ЭДС самоиндукции. Оба ток протекают навстречу друг другу, как течения воды. Скорость изменения тока через катушку зависит от соотношения индуктивности и сопротивления.
Когда через катушку протекает ток, то она запасает часть энергии в своем магнитном поле. Соответственно, при отключении тока, проходящего через катушку, при обрыве от внешнего источника питания, катушка возвращает энергию магнитного поля обратно в контур цепи. В следствии этого может возникнуть всплеск (резкое повышение) напряжения обратной полярности на катушке индуктивности. Данный всплеск может достигать значения, которой в несколько раз превысит номинальное напряжения внешнего источника питания. Ведь величина ЭДС самоиндукции катушки зависит именно от скорости изменения тока, а не от абсолютной величины установившегося тока ДО ОТКЛЮЧЕНИЯ. Вспомните, что в формуле стоит производная, а не ток (!). А что у нас означает производная? Правильно! Скорость изменения тока, а не его абсолютное значение.
Проблема заключается в то, что такие резкие скачки обратной связи по напряжению могут помешать правильной работе электронных устройств, или вообще вывести их из строя, разрушить напряжением, на которое они не рассчитаны.
Какие существуют методы защиты чувствительных элементов электрической цепи от ЭДС самоиндукции ?
Чтобы снизить негативную обратную связь от возникновения ЭДС самоиндукции и исключить выход из строя обвязывающего оборудования, необходимо убрать пики напряжения. Сделать это можно, если параллельно катушке запаять диод (для постоянного напряжения) или варистор (для переменного напряжения). Тогда ЭДС самоиндукции будет ограничиваться этими элементами. Схема будет защищена.
Диод нужно включить параллельно катушке, но против напряжения питания. Обратное включение инициализирует на диоде высокое сопротивление (обратное подключение диода) для установившегося режима работы. А вот при отключении питания, на катушке возникает ЭДС, которая противоположна внешнему ЭДС, но зато сонаправленна с диодом (прямое подключение диода), который в результате открывается (уменьшает своё сопротивление) и шунтирует катушку индуктивности.
Варистор также включается параллельно катушке. Резкие скачки напряжения (неважно в какую сторону, ведь мы говорим про переменный ток) «пробивают» варистор, он открывается, шунтирует катушку и «обрезает» все ненужные скачки напряжения. Обеспечивается надежная защита схемы.
Еще несколько заметок с интересными задачами по электродинамике
Интересная задачка по электродинамике на размыкание RLC-цепи
Есть две лампочки в последовательной цепи: какая горит ярче?
Задача по физике за 8 класс, в которой ошибаются учащиеся 11 класса
Понравился разбор задачи ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
