Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжим разговор о топологических пространствах. Для освежения материала прочитайте, пожалуйста, подборку на моём канале:
Начнём с исключительно простой вещи - мотивации создания аксиоматики отделимости топологических пространств. В большинстве случае в топологии удобнее всего начинать с обычной вещественной прямой со стандартной топологией.
Как видно из рисунка топология задаётся путем объявления пустого множества, всей вещественной прямой и всевозможных интервалов открытыми. Все аксиомы топологического пространства здесь выполняются: объединение любого количества открытых множеств - открыто, пересечение любого конечного набора открытых множеств - открыто (кстати, о том, что последний факт в общем случае не верен, я писал в этом материале).
Итак, что мы можем сказать о таком пространстве? В первую очередь то, что у любых двух точек существуют непересекающиеся окрестности:
Очень хорошее пространство, не правда ли? В нём всё понятно, все точки отделимы друг от друга в привычном бытовом смысле. Так вот, пространства для которых такое разбиение можно выполнить называются хаусдорфовыми пространствами или пространствами, удовлетворяющими аксиоме отделимости T₂.
Возьмем другой классический пример - дискретную топологию. Напоминаю, что такую топологию мы можем задать следующим образом:
Объявляем каждую точку открытым множеством, по умолчанию дополняя топологическую структуру пустым множеством и самим множеством Х. Что же мы получим в плане хаусдорфовости? У нас есть всего две точки, поэтому для выполнения аксиомы T₂ достаточно предъявить два открытых множества, в которые входят точки a и b, и которые не пересекаются. Очевидно, что это легко сделать:
Таким образом, топологическое пространство с дискретной топологией с двумя точками - хаусдорфово. В общем случае это утверждение верно для любых дискретных топологий.
Так, а теперь сделаем топологию на трех точках "грубее", сделав меньше открытых множеств (все аксиомы топологического пространства выполняются). Например, вот так:
Вот оно что, здесь всё не так просто. Для точки С и любой другой точки нельзя предъявить непересекающихся открытых множеств. Значит, для такого топологического пространства аксиома T₂ не выполняется, пространство не является хаусдорфовым.
Но тогда каким? Как можно ослабить это требование? Посмотрим на рисунок:
Очевидное ослабление заключается в требовании, чтобы каждая из двух различных точек пространства обладала бы окрестностью, не содержащей другой из этих точек. Пространства, которые удовлетворяют этому требования, называются Т₁ - пространствами.
Понятно, что каждое T₂-пространство является Т₁ - пространством. Обратное, в общем случае неверно. В качестве примера рассмотрим пространство, топологическая структура на котором задается открытыми множествами, полученными путем выбрасывания 2 точек из отрезка [0,1]^
Тот факт, что это действительно топологическое пространство можно проверить, вычислив теоретико-множественные пересечения и объединения открытых множеств из топологии. Теперь к отделимости:
Для точки а (b) мы можем указать открытое множество (из топологии), которое не содержит b (a). Найти же для точек a и b непересекающиеся окрестности не представляется возможным:
Указанное верно для случае выбрасывания не более, чем счетного числа точек из отрезка.
Следующее ослабление аксиомы Т₁ так же очевидно, как и предыдущее:
Если в топологическом пространстве для любой пары точек хотя бы одна имеет окрестность, которая не включает другую, такое пространство называется колмогоровским или Т₀ - пространством.
Наиболее ярким его примером является пространство, снабженное топологией стрелки.
Топологическая структура здесь состоит из всех положительно направленных открытых лучей. Тогда вот, что мы получаем:
Т.е. из двух выбранных точек лишь для одной мы можем указать открытое множество, которое не содержит другую точку.
Еще одним известным примером Т₀ - пространства является пространство Серпинского:
Ну и раз уже есть самая "слабая" аксиома отделимости, то в топологии существуют и неотделимые пространства. Это пространства с антидискретной топологией:
Еще эта топология называется топологией слипшихся точек, в том смысле, что точки неразличимы между собой. Впрочем, стоит отметить, что такие пространства практического интереса не представляют, а являются лишь тривиальными примерами.
Итак, мы поговорили об ослаблении аксиом отделимости, но оказывается, условие хаусдорфовости можно и усилить, получим аксиомы Т₃ и далее! Особенно интересно прийти к Т₄, которые уже обладают фактически всеми привычными нам, в т.ч. геометрическими, свойствами! Впрочем, это уже совсем другая история! Спасибо за внимание! Продолжение:
