Абстрактная математика

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем разговор об аксиомах отделимости топологических пространств. В прошлом материале мы обсудили первые три аксиомы: T₀ (колмогоровская отделимость), T₁ (отделимость Фреше), T₂ (хаусдорфова отделимость). Все аксиомы, о которых шла речь в этой статье подразумевали отделимость отдельных точек пространства от открытых множеств, содержащих другие точки. Следующие аксиомы идут в сторону усложнения: в них будут фигурировать уже замкнутые множества. Итак, поехали! В качестве ремарки: аксиомы отделимости выше второй, в целом, не имеют единой классификации...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжим разговор о топологических пространствах. Для освежения материала прочитайте, пожалуйста, подборку на моём канале: Начнём с исключительно простой вещи - мотивации создания аксиоматики отделимости топологических пространств. В большинстве случае в топологии удобнее всего начинать с обычной вещественной прямой со стандартной топологией. Как видно из рисунка топология задаётся путем объявления пустого множества, всей вещественной прямой и всевозможных интервалов открытыми...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Большинство из Вас, конечно, знакомы с таим популярным математическим понятием, как непрерывность. Обычно о нем говоря в контексте непрерывных функций, и дают соответствующие определения: интуитивное - когда функция считается непрерывной, если не претерпевает мгновенных скачков (разрывов), и малые изменения аргумента приводят к таким же малым изменениям функции; строгое - через понятие предела или на великом и ужасном языке "эпсилон-дельта". Однако сегодня я хочу дать еще более общее понятие непрерывности...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале мы обсуждали первые конкретные пример конечных топологических пространств, в которых набор открытых множеств, составляющих топологию можно было задать явно путем их перечисления (возможно очень длинного) "в лоб". Сегодня мы рассмотрим новые примеры, среди которых будет, наверное, самое главное и знакомое всем топологическое пространство - стандартная вещественная прямая. Итак, поехали! Топология "Стрелка" Пусть Х - это положительно направленный луч на прямой...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу еще раз побеседовать о понятии "окрестность", но уже в максимально абстрактном смысле. Думаю, каждому из Вас понятно на бытовом уровне, что окрестность - это некая пространственная сущность, которая окружает объект (точку). Например в этой статье я, очевидно, рассматривал понятие "окрестность" в метрическом пространстве: Однако, мы должны рассмотреть, что понимается под окрестностью в более общем смысле - топологическом. Для этого у нас уже всё...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Пришло время сбросить оковы, окружающего нас вещественного мира и погрузиться в чудесные топологические миры. В прошлых материалах подборки "Абстрактная математика" мы обсуждали вопросы открытых и замкнутых множеств, операций замыкания и внутренности, рассматривали всевозможные виды точек... Но, согласитесь, было в этом что-то искусственное. Например, с чего мы взяли, что между точками а и b в принципе есть какие-то другие? С чего мы взяли, что есть точки, которые...