Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем с Вами беседовать о простых, но фундаментальных вопросах математики. В прошлых статьях этого цикла мы разбирали понятие "открытого множества" : дали ему определение, а также посмотрели, каким образом себя ведут эти "кирпичики" при объединении. Прежде чем переходить к чтению этого материала предлагаю Вам пройти к предыдущему.
Этот материал познакомит Вам с одним красивым контрпримером - классическим случаем в математике, который опровергает утверждения, которые кажутся непреложно истинными.
Итак, посмотрим, что происходит, если мы ищем пересечение открытых множеств.
Случай № 1
Классический вариант пересечения: у интервалов есть общая часть. (c,b) - интервал, т.к. по определению пересечение множеств - это совокупность элементов, которые принадлежат И одному И второму множеству. В нашем случае точка С принадлежит второму интервалу, но не принадлежит первому. С точкой B аналогично.
Случай № 2
Пересечение открытых лучей в такой конфигурации также даёт открытое множество.
Случай № 3
Пересечение открытого луча с интервалом также даёт открытое множество. Конечно, второй интервал можно сдвигать относительно луча. Но что, если сдвинуть конец интервала - точку С за точку А открытого луча? Или если "раскидать" интервалы по числовой оси?
Случай 4
Из схемы видно, что на числовой оси представленные нами интервалы (открытые множества на вещественной прямой) не пересекаются. В теории множеств это означает, что пересечение является пустым множеством. Здесь проблем не возникает, так как мы в прошлом материале условились считать пустое множество открытым.
Случай 5
Теперь мы попробуем найти пересечение несколько большего количества открытых множеств на вещественной прямой.
Представим, что мы хотим найти пересечение трех вложенных друг в друга интервалов
Из рисунка видно, что, как и мы и предполагали, пересечением трех интервалов будет такой же открытый интервал (-1/3; 1/3). Но что, если мы будем искать пересечение бесконечного количества таких вложенных интервалов, т.е. устремим n к бесконечности? Удивительно, но окажется, что единственной их общей точкой окажется точка {0}!
Является ли точка на вещественной прямой открытым множеством?
По определению открытого множества оно содержит в себе все внутренние точки. Точка же называется внутренней, когда она содержится во множестве вместе с каким-нибудь своим интервалом. Но у нас всё множество состоит из одной точки, в нём нет никаких интервалов!
Значит, мы приходим к выводу, что существует контрпример - при пересечении бесконечного количество открытых множеств можно получить не открытое множество, а, например, точку! Конечно, Вы уже догадываетесь, что отдельная точка - это уже пример замкнутого множества, но об этом понятии мы поговорим в следующем материале!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.