Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу еще раз побеседовать о понятии "окрестность", но уже в максимально абстрактном смысле.
Думаю, каждому из Вас понятно на бытовом уровне, что окрестность - это некая пространственная сущность, которая окружает объект (точку). Например в этой статье я, очевидно, рассматривал понятие "окрестность" в метрическом пространстве:
Однако, мы должны рассмотреть, что понимается под окрестностью в более общем смысле - топологическом. Для этого у нас уже всё есть! В прошлом материале мы разобрались, что те множества, которые включены в топологию, мы объявляем открытыми.
- Окрестностью точки х∈Х называется любое открытое множество, содержащее х.
Всё просто - окрестностями во введенной нами топологии могут быть только те множества, которые мы объявили открытыми. Давайте на примере трехточечного множества посмотрим, какие они бывают.
В этой топологии только у точек a и b есть окрестности, отличающиеся от всего множества (ведь оно тоже открытое!), да и еще отличающиеся друг от друга (для точки а - это {a}, точки b - {b}). Обратите внимание, что точка с как бы "прилипла" ко всему множеству.
Следующий случай будет еще более простым. В антидискретной топологии:
В данном случае все точки "топологически" не различимы: у них одна и та же единственная окрестность. Поэтому такая топология называется еще топологией слипшихся точек.
Теперь самый содержательный пример - дискретная топология:
У всех точек есть попарно-непересекающиеся окрестности, и это уже заявка на более серьезные топологические свойства.
А еще в дискретной топологии все множества открыты и замкнуты одновременно!
Таким образом, одно из ключевых отличий рассматриваемых нами пространств - в структуре их окрестностей, определяемых с помощью топологии. Где-то точки отделены, где-то - слиплись, а где-то ситуация сложнее. Всё это привело к необходимости классификации топологических пространств, а именно к внедрению т.н. аксиом отделимости. О них и поговорим в следующем материале. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас!