Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале мы обсуждали первые конкретные пример конечных топологических пространств, в которых набор открытых множеств, составляющих топологию можно было задать явно путем их перечисления (возможно очень длинного) "в лоб".
Сегодня мы рассмотрим новые примеры, среди которых будет, наверное, самое главное и знакомое всем топологическое пространство - стандартная вещественная прямая. Итак, поехали!
Топология "Стрелка"
Пусть Х - это положительно направленный луч на прямой. Объявим открытыми всевозможные лучи с началом в точке а. Тогда набор таких лучей, всего множества и пустого множества - является топологией. Чтобы не быть голословным, конечно, нужно проверить некоторые моменты:
Действительно, пересечение и объединение всё так же принадлежат топологии, а значит мы только что создали топологическое пространство.
Кстати, если попытаться объявить открытыми на том же множестве замкнутые лучи, то ничего не получится:
Прямая Зоргенфрея
Это уже более сложно устроенное топологическое пространство. В нём мы объявляем открытыми все полуинтервалы [a,b) и все их объединения! Все аксиомы топологического пространства так же выполняются.
Эту топологию намного понятнее задавать с помощью базы, но мы еще не дошли до этого понятия.
Стандартная вещественная прямая
Здесь мы объявим открытыми все возможные интервалы, что уже интуитивно понятно, исходя из житейского опыта, и было нами исследовано в материале:
Такая топология называется стандартной топологией на вещественной прямой и применяется по умолчанию в математическом анализе, если не сказано иное. Здесь действует одно из привычных нам понятие расстояния, как модуля разности между координатами точек. Иначе говоря, вещественная прямая метризуема, т.е. позволяет ввести функцию метрики.
На вещественной прямой есть разные виды расстояний. Например, один из случаев приводит к совершенно удивительным p-адическим числам.
В пространстве с топологией "Стрелка" также можно ввести метрику, в отличии от пространства Зоргенфрея. Дело в их особенностях, которые конкретизируются т.н. аксиомами отделимости топологических пространств, о которых мы поговорим позже. Спасибо за внимание!