Парадокс запланированной внезапности строится по следующей схеме.
Уведомитель обещает слушателю сюрприз в череде ближайших интервалов времени (минут, часов, дней) и детально раскрывает, что это будет. Выполнимо ли обещание?
Предположив, что уведомитель в подобных случаях не врёт, слушатель приходит к выводу, что обещанное невыполнимо в последнем интервале времени, в предпоследнем и так далее до первого. Допустив, что уведомитель в подобных случаях может соврать, слушатель с удивлением обнаруживает, что обещание выполняется и что уведомитель в действительности не соврал.
Первые версии этого парадокса появились в начале 40-х годов 20-го века. Идея парадокса будоражила умы до конца 50-х годов, пока она не отпечаталась в нескольких сюжетах и исследованиях. Сюжеты были разные, от трагических до шуточных.
Узник ждёт внезапных перемен, заранее объявленных тюремным начальством, в одном из дней ближайшей недели, и цепляется за мысль, что предсказанное логически невозможно, – а оно случается (первый сюжет, начало 40-х, автор неизвестен).
Командир войсковой части объявляет подчинённым о часе будущей внезапной учебной тревоги, которая назначена на один из следующих дней – и никто не ждёт её, думая, что командир перебрал, а потом эта заранее назначенная тревога застаёт всех врасплох (второй сюжет, 1948, Д.Дж.О’Коннор).
Один приятель говорит другому: «для тебя будет неожиданностью обнаружить яйцо в одной из пронумерованных коробок, куда я это яйцо положил, при открывании коробок по возрастанию номеров» – и обещанное происходит (третий сюжет, 1952, Майкл Скривен).
Муж торжественно обещает жене: «тебя в твой день рождения ждёт сюрприз – тот самый золотой браслет, который тебе понравился в магазине украшений», – и всё сбывается (четвёртый сюжет, 1952, Майкл Скривен).
Один приятель кладёт перед другим карту масти пик рубашкой вверх и заявляет: «ты не узнаешь номинал карты, называя номиналы в порядке возрастания, пока вместо слова нет (это не та карта), я не скажу да (это она)», после чего приятели экспериментально проверяют предсказание (пятый сюжет, конец 50-х, автор пожелал остаться неизвестным).
Эти сюжеты представил широкой публике Мартин Гарднер – составитель головоломных сборников 60-х годов. Отечественный читатель может найти обстоятельный разбор этих сюжетов в книге: Мартин Гарднер. Математические досуги. – «Мир», 1972, С. 95–109. К сожалению, сюжет с узником, который исследовал Гарднер, трагичен – узник погибает. Рассмотрим более оптимистичные сюжеты с узником.
Парадокс тревожного узника
Начальник тюрьмы был строгих правил и не позволял себе врать. В воскресенье он вызвал узника и сказал ему: «Мы освободим Вас на следующей неделе в полдень, если сможем подобрать день освобождения так, что Вы не будете о нём знать накануне вечером».
Узник вернулся в камеру и стал думать. Смогут ли они подобрать такой день? Предположим, они выберут следующее воскресенье. Тогда, оставаясь в субботу вечером в тюрьме, я пойму, что меня освободят в воскресенье. Воскресенье отпадает. Предположим, что они выберут субботу. Тогда, оставаясь в пятницу вечером в тюрьме и зная, что воскресенье исключается, я пойму, что меня освободят в субботу. Суббота тоже отпадает. Но если исключаются воскресенье и суббота, то аналогично исключается и пятница. А после исключения пятницы аналогично исключается один за другим четверг, среда, вторник, понедельник. Получается, что ни один из дней следующей недели не подходит для моего освобождения.
Верно ли, что узник не был освобождён на следующей неделе?
Перед нами один из парадоксов третьего рода. Кажущаяся правильной, но неправильная цепочка умозаключений вплетена в описание исходной ситуации. Согласно этим умозаключениям на итоговый вопрос надо ответить «да». Однако, в рассуждениях узника таятся две ошибки.
Во-первых, не учитывается возможность того, что начальник тюрьмы сказал неправду. Слова «он не обманывает» означают не более чем «он до сих пор не обманывал».
Во-вторых, знать, что будет завтра, не дано никому. Будущее можно только планировать. Планы могут меняться. В исполнение планов всегда вмешивается жизнь. Будущее не известно, пока оно на стало прошлым. Что бы там ни решили тюремщики с датой освобождения узника, верховный правитель может изменить дату.
Тюремщики могут выбрать любой день следующей недели для освобождения узника. При этом никто не уличит начальника тюрьмы в обмане. Если же начальник тюрьмы захочет обрести славу обманщика, то он может освободить узника по истечении следующей недели. Выбор начальника тюрьмы непредсказуем для узника. Поэтому освобождение на следующей неделе будет для узника сюрпризом, причём в день освобождения он поймёт, что начальник тюрьмы его не обманул.
Что изменится, если слова «Вы не будете знать о дне освобождения накануне вечером» заменить словами «Вы не скажете себе накануне вечером: если не возникнут форс-мажорные обстоятельства, которые поломают планы тюремщиков, то завтра меня освободят»? В этом случае рассуждения узника не опровергаются форс-мажором. Но они опровергаются тем, что начальник тюрьмы мог соврать.
Исключив тревогу узника и необходимость учитывать форс-мажор из описания исходной ситуации, мы получим более ясный сюжет.
Парадокс безмятежного узника
Начальник тюрьмы был строгих правил и не позволял себе врать. В воскресенье он вызвал узника и сказал ему: «Мы освободим Вас на следующей неделе в полдень, если сможем подобрать день освобождения так, что накануне вечером Вы не скажете себе: если не возникнут форс-мажорные обстоятельства, которые поломают планы тюремщиков, то завтра меня освободят».
Узник вернулся в камеру и стал думать. Похоже, меня собираются освобождать. То ли на следующей неделе, то ли позже.
Верно ли, что узник был освобождён на следующей неделе?
Перед нами парадокс второго рода. В чём недосказанность? Под влиянием слов «начальник тюрьмы не позволял себе врать» мы поначалу необоснованно продлеваем его правдивость из прошлого в будущее. Но затем одёргиваем себя. Начальник тюрьмы был волен как выполнить, так и не выполнить своё обещание узнику. Даже вечером в субботу, оставаясь в тюрьме, узник не имеет оснований сказать себе: если не будет форс-мажора, то завтра меня освободят.
Если начальник тюрьмы предпочёл выполнить обещание, то он мог сделать это в любой день следующей недели. Ответ: «да» (узник был освобождён на следующей неделе).
Если начальник тюрьмы предпочёл не выполнить обещание, то он либо выбрал один из дней после истечения следующей недели, либо решил вообще узника не освобождать. В обоих вариантах ответ: «нет» (узник не был освобождён на следующей неделе).
Если парадокс тревожного узника и парадокс безмятежного узника рассматривать как философские притчи, то они подводят читателя к следующим мыслям.
Будущее не известно никому, ибо есть свобода выбора в настоящем.
Даже тот, кто ни разу не обманывал, всё-таки может обмануть. Доверяй, но проверяй.
Допустив, что тебя обманывают, ты будешь удивлён неожиданным открытием, что тебя всё-таки не обманули.
Не тревожься.
продолжение следует
