Как я уже писал ранее, математика окружает нас везде, даже в обычных бытовых ситуациях. Базовые знания математики помогают подружиться с финансами. А финансовая грамотность полезна для каждого человека. Ведь, как ни крути, от этого зависит наша жизнь. Но что делать, если человек нетерпелив, азартен, расточителен ? Думаю, что эти проблемы в той или иной мере имеются у всех людей. Сегодня я задумался над тем, что проблема неконтролируемого азарта связана с непониманием элементарной математики. Точнее теории вероятностей.
Почему люди теряют деньги? Если мы отбросим влияние маркетинга на психологию, то останется одна причина — азартность. Эмоция, связанная с предвкушением успеха. Частенько эта эмоция далека от реальности.
Пример № 1
Представьте, что игра на деньги связана с монеткой. Допустим, что 4 раза подряд выпала решка. И тут человек может подвергнуться ошибочную суждению: «Ну на 5 раз 100% выпадет орёл, потому что его давно не было». Однако, точно ли мы в этом уверены? Монетка не менялась. Вероятность, равна 1/2, сохраняется. В каждом отдельном броске вероятность выпадения орла будет 0.5 (такая же как у решки). Но почему мы так уверены в «орле» ? Всё это потому, что наше подсознание понимает под случайными процессами четкое чередование двух событий. Но дело в том, что это как раз независимые события. Поэтому четко чередоваться они никому не обязаны. Правда нашей интуиции и инстинктам это не объяснишь. Мы склонны ошибаться, а мозг постоянно акцентирует одни ситуации, игнорируя другие. Всё таки человек эмоционален. И чем больше эмоции преобладают над рациональным взвешенным мышлением, тем выше вероятность потерять деньги в азартной игре.
Пример № 2
Еще наше критическое восприятие ситуации может быть связано с оценкой вероятности полученной ситуации в целом.
Допустим, монетку подкинули 4 раза. Найти вероятность того, что все 4 раза выпала «решка». Тогда можно рассуждать следующим образом.
Все возможные комбинации при 4 бросках монетки очень похожи на задачу составления таблицы истинности для функции от четырех булевых переменных (по сути задача о том, сколько комбинаций можно закодировать, имея в распоряжении 4 бита). Давайте подумаем:
Вероятность возникновения ситуации, когда при 4 бросках выпадает 4 решки подряд, равна 1/16 или 0.0625. НО вероятность выпадения решки при одном конкретном броске всегда сохраняется равной 0.5. Чувствуете разницу ?
Где аналогия с реальной жизнью и финансами?
Делая ставку, допустим на взлет каких-то акций, мы часто ориентируемся на прошлые факты. Однако, прошлое не всегда предсказывает будущее. Точнее, в большинстве случаев, НЕ ПРЕДСКАЗЫВАЕТ его вообще(!).
Для моделирования более сложных ситуаций могут понадобиться формулы из схемы Бернулли, теоремы о сложении и умножении вероятностей, понимание разницы между совместными и несовместными событиями, понятие полной группы событий, формулы Байеса для уточнения вероятностей, формулы Пуассона для больших распределений, интегральная и локальная теорема Лапласа, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, понятие корреляции и ковариации, неравенство Чебышева. Вот эта основа, которая поможет моделировать более сложные математические задачи. Но для моделирования большинства простых задач достаточно самых основ. К сожалению, не все заостряют на этом внимание.
Пример № 3
Приведу еще один пример, где интуиция обманчива и постоянно нас подводит. Пример связан с уточнением вероятности уже свершившегося события. Итак, применение статистического анализа в медицине.
Задача
Пусть некий тест на какую-нибудь болезнь имеет вероятность успеха 95% (т.е. 5% — вероятность как позитивной, так и негативной ошибки). Всего болезнь имеется у 1% респондентов (отложим на время то, что они разного возраста и профессий). Пусть некий человек получил позитивный результат теста (тест говорит, что он болен). С какой вероятностью он действительно болен?
Решение:
Что вам подсказывает интуиция? По началу кажется, что раз тест такой точный ( всё таки 95% ), то и вероятность реальной болезни тоже будет около 95 %. Но так ли это на самом деле? Воспользуемся теоремой Байеса.
Как видите, не строит сразу впадать в панику, если какой-то тест показывает, что «фсё плохааа, завтра умирать», то не нужно отчаиваться. На самом деле, вероятность того, что вы здоровы гораздо больше 5% (ошибки теста).
Что делать, если вы азартны и подвержены магии чисел?
Поступайте подобно опытному игроку, который при походе в казино берет с собой не больше 100$, а остальное оставляет дома, подальше от глаз. На игры, азарт, спекуляции пускайте не более 10% активов. Всегда помните, что эта та максимальная сумма, которую вы можете позволить себе потерять на рискованных манипуляциях. Разделяйте деньги на инвестирование и деньги на спекуляции и рискованные вложения. Не раскормите своего внутреннего игрока, а то пожалеете. Всегда придерживайтесь четкого плана при любых вложениях денег.
Пример № 4
Еще один прекрасный пример азартной игры и парадокс Монти Холла (одна из известных задач теории вероятностей).
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
На самом деле, очень многие не понимают сущность этого парадокса. То есть многие думают, что смена двери не даст никакого выигрыша. Но это тоже не так. Похоже, что нас опять обманула интуиция... Посмотрите на рисунок ниже, на котором расписано дерево всех возможных событий:
Как видите, если мы меняем свой выбор, то вероятность выиграть автомобиль становится 2/3. А если мы не меняем свой первоначальный выбор, то мы и остаемся с той вероятностью, которая была в самом начале игры, что не особо выгодно для нас, ведь 1/3 меньше, чем 2/3.
Вероятность приза за каждой дверью, как была изначально 1/3, так и остается в течение всей задачи. Просто, когда вам дают шанс изменить решение, вы всё равно что добавляете себе еще один шанс, складывая вероятности. Хотя это не означает, что выигрыш будет ваш, т.к. вы изначально могли выбрать правильную дверь, т.е. поменяв выбор, лишитесь приза. Тем не менее, меняя выбор, вероятность увеличивается в 2 раза.
Еще можно для себя представить, что сразу после открытия, ведущий обнуляет вероятность подарка за одной дверью. Поэтому вероятности перераспределяются в 1/3 и 2/3, что суммарно дает достоверное событие (1/3 + 2/3 = 1).
Пример № 5
И ещё один парадокс из теории вероятностей. Тоже связан с деньгами и азартом. Называется «Задача о двух конвертах».
В первый конверт помещается некоторая сумма денег X. Эта сумма неизвестная для всех участников процесса. Первый участник игры получает этот конверт. Затем подбрасывается монетка. Если выпадает орёл, то во второй конверт кладется сумма в 2 раза большая, чем в первом конверте. В противном случае во второй конверт кладется сумма в 2 раза меньшая, чем в первом конверте. Последний конверт получает второй участник игры. После распределения денег оба участника могут открыть свои конверты и посмотреть суммы денег. Сообщать друг другу суммы нельзя. Далее они могут принять решения обменяться конвертами, если будет достигнуто обоюдное согласие.
И знаете что происходит? Участники решают меняться. Оба участника видят задачу симметрично, при этом каждый оценивает математическое ожидание в свою пользу.
Почему так происходит? Смотрите...
Есть у нас Миша и Коля. Миша получает свой конверт, видит там X = 1000 рублей. Затем Миша предполагает, что в конверте у Коли могут равновероятно быть X/2 = 500 рублей и 2X = 2000 рублей. Миша рассуждает... «Так так, если я сейчас поменяюсь, то могу потерять 0.5X или приобрести X. Математическое ожидание у меня получится (-0.5x + x)/2 = 0.25x». Миша рассуждает так, что в среднем обмен принесет ему 25% выгоды. Но точно также рассуждает и Коля. Ведь задача для него симметрична.
Задача парадоксальна в том, что обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам игры, как они изначально об этом думают. Где ошибка в их рассуждениях ? Неплохая задача для теории игр, не правда ли?
Было предложено следующее решение парадокса:
И Миша и Коля уверены, что сумма в их конвертах не имеет никакого значения, если в другом конверте может оказаться большая сумма. Получается, что и Миша и Коля полагают, что сумма в конверте конкурента больше их суммы с вероятностью 1/2. Но это верно только в том случае, если каждое значение суммы X равновероятно от нуля до бесконечности. Хотя, если бесконечное число чисел равновероятно, то шанс выпадения каждого числа имеет нулевую вероятность. Что является странным. Согласны?
Если мы обозначим за f(x) вероятность того, что в конверте Миши находится сумма в X рублей, то вероятность того, что у Коли в конверте находится сумма 2X рублей, будет равна:
Если же Коля считает, что эта вероятность равна 1/2 независимо от суммы X, то получается, что f(X/2) = f(2X) для каждого X > 0 , что может быть верным только, если f(x) = Const на интервале от 0 до ∞. Если вероятность положительна и постоянна на все положительной полуоси, то её интеграл равен бесконечности, что невозможно с точки зрения нормировки функции плотности распределения вероятностей. Парадокс мы получаем из-за того, что равновероятность сумм в конвертах не реализуется на практике, а значит зависит от суммы в конверте у каждого участника игры.
Заключение
Как видите, мы 5 раз убедились в том, что интуиция может легко подвести нас при решении (на первый взгляд простой) математической задачи. Часто нас интересуют задачи, связанные с получением денежной выгоды: задачи инвестирования, спекуляций, обмена, перепродажи. Если бы мы чаще обращались к математике, то имели бы более прозрачные представления о риске. Во всяком случае, мы бы могли контролировать состояние эйфории в предвкушении кажущейся благосклонности фортуны :)
Понравилась статья ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
