Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу в очередной раз обратить к великой древнегреческой математике, а именно к трудам Евдокса - математика, астронома, философа и даже музыканта.
В математике же он известен как один из праотцов интегрального исчисления, которое в оригинальной формулировке, дошедшей до нас благодаря "Началам" Евклида, называлось "методом истощения".
Сочинения Евдокса не сохранились, но были отражены в "Началах"
Однако, первые намеки на практическое применение "метода истощения" принадлежат Антифонту - древнегреческому философу-софисту, которого, кроме всего прочего, называют одним из первым анархистов в истории.
Его, как и многих других мыслителей, занимал вопрос квадратуры круга: построения круга, равновеликого квадрату, т.е. равного по площади:
Согласно поздним комментаторам, Антифонт вписывал в круг некий многоугольник — треугольник или квадрат.
Разделяя пополам дуги, соответствующие сторонам, он получал многоугольник с удвоенным числом сторон, то есть шести- или восьмиугольник, и т. д.
Антифонт считал, что если подобным образом поступать неограниченное число раз, то мы получим такой многоугольник, который совпадёт с окружностью.
Так как построить равновеликий многоугольнику квадрат является решаемой задачей, то таким же образом можно квадрировать и круг.
Евдокс же вошёл в историю, систематизировав применение этого метода для решения самых разнообразных задач. В "Началах" Евклида метод сформулирован таким образом:
Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.
Обратите внимание на формулировку: именно здесь впервые в истории человечества речь идёт о пределе, здесь даже можно найти аналогию с классическим "эпсилон-дельта" языком.
Для плоских и объемных фигур метод истощения позволяет находить площадь и объем:
Например, для этого в окружность вписывается бесконечная последовательность многоугольников, которая в пределе совпадает с площадью круга.
Ученик Евдокса Архимед сильно превзошел учителя и виртуозно применял метод для многих новых открытий.
Примечательно, что метод истощения в современной трактовке называется "методом исчерпываний".
Это сделал бельгийский математик 16 века Грегуа́р де Сен-Венса́н (он, кстати, придумал полярную систему координат!). Пройдет меньше ста лет и метод исчерпываний трудами Ньютона, Лейбница и в дальнейшем Римана, превратится в один из мощнейших математических инструментов - интегральное исчисление. Спасибо за внимание!