Хотела бы начать с краткого обзора кривой второго порядка - эллипса. Это одна из кривых, которая получается при пересечении плоскостью поверхности конуса. Другие две - парабола и гипербола.
Уравнение эллипса очень похоже на уравнение окружности, что объясняется тем фактом, что окружность это частный случай эллипса. Переменные в уравнении возведены во вторую степень, поэтому это кривая второго порядка.
Эллипсы можно наблюдать при проекции окружности на плоскость. Например, тени от круглых предметов имеют форму эллипса. Кроме того, если внимательно понаблюдать, можно заметить, что когда мы смотрим на круглый предмет, он также имеет форму эллипса. На картинах и фотографиях окружности трансформируются в эллипсы, кроме тех, которые нарисованы в плоскости перпендикулярной направлению взора.
Для моей истории важно определение эллипса через геометрическое место точек.
Эллипс это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна и больше расстояния между фокусами.
У эллипса есть две оси: большая и малая. Длина большой оси равна тому самому постоянному расстоянию из определения эллипса. Запомним эту мысль, она понадобиться нам для понимания истории.
Итак, некоторое время назад, мне пришла в голову задач по поиску критерия минимального пути.
Казалось бы, задача пустяковая, но получить строгий критерий мне не удалось. В какой-то момент в ходе размышлений даже возник эллипс, но до факта про длину большей оси эллипса я не дошла и задача повисла в воздухе.
В очередной период безделья, стала думать про эту задачу вновь, мысленно рисуя эллипсы. И тут всё сошлось.
Строим два эллипса с фокусами в точках А и В, проходящие через С и D. Строго говоря, нам даже не эллипсы нужны, а всего лишь их большие оси.
Эллипс проходящий через точку D лежит внутри, то есть его большая ось будет меньше, а значит этот путь короче.
Даже немного обидно, что всё оказалось так просто.