«Введение в теорию чисел» — авторский онлайн-курс Владимира Шарича, старшего преподавателя факультета математики НИУ ВШЭ. Программа воспитывает вкус к математической красоте и дает практические алгоритмичные инструменты для поиска ответов на теоретико-числовые вопросы. Курс интегрирован в учебные планы в формате смешанного обучения в Вышке и в вузах-партнерах.
— Владимир, сегодня самые востребованные специальности на рынке труда связаны с цифровыми компетенциями. Насколько освоение теории чисел важно для представителей цифровых профессий или это узкопрофильный скил математиков?
— В data-driven-бизнесах ключевым сотрудникам необходимо иметь хорошо поставленное абстрактное и категорное мышление. Теория чисел, как и любая чистая математика, помогает такое мышление тренировать. Как, например, футболистам может быть полезно подтягиваться, чтобы быть в форме. Не совсем по профилю деятельности, но прокачивает нужные мышцы.
Развитие цифровых технологий связано с темами, рассматриваемыми в трех неделях курса. Их знание позволит лучше понять, как думает компьютер, а криптография и вовсе на них основана. Это необходимый арсенал разработчика или аналитика данных.
В целом лекции курса «Введение в теорию чисел» преимущественно относятся к теоретической математике, однако на 80% доступны и любителям — правда, только упорным. Почти все факты доказываются абсолютно элементарными методами. Это не делает доказательства простыми, но делает доступными в смысле минимума необходимых знаний. Для решения 70–80% задач достаточно напрямую применить знания, полученные из роликов. И есть около 20–30% задач, где нужно подумать, вот тут необходимо иметь математический бэкграунд, иначе не получится.
Надеюсь, каждый сможет найти то, что интересно и доступно. Целевая аудитория курса, на мой взгляд, состоит из двух категорий: студенты математических специальностей, изучающие теорию чисел в рамках вузовской программы, и взрослые (или не очень) слушатели, у которых есть вкус к математической красоте.
— Чем «Введение в теорию чисел» отличается от других онлайн-курсов и видеолекций, где затрагивается данная тема?
— Мой курс — некий джентльменский набор сюжетов из различных подразделов теории чисел. Мы не погружаемся слишком глубоко ни в один из них, однако знакомимся с основными определениями и теоремами, учимся использовать их на практике, после чего двигаемся дальше. В этом смысле курс, насколько я смог понять путем простого поиска в интернете, уникален. По нему, кстати, нет учебника, однако если собрать 5–6 книг, то написанное в них покроет весь материал.
Многое доступно старшеклассникам при условии хорошей математической базы. Более того, тематика курса подбиралась отчасти на основе традиционных кружковых тем. Строгие доказательства даны выборочно, что-то сознательно осталось за кадром, чтобы не загромождать курс техническими деталями. В этом смысле курс нельзя считать «построением теории чисел». Это именно «введение» с упором на примерах. Познание через опыт и впечатление. Мне это видится более важным, чем в очередной раз дать сухое формальное доказательство. Хотя их в курсе немало, даже, как мне теперь кажется, слишком много. Более того, местами строгость изложения мною сознательно опускалась до математического неприличия ради упрощения материала. Возможно, коллеги меня в этом месте не поймут.
— Какие арифметические функции, особенно значимые в рамках теории чисел, представлены в курсе?
— Основная — это функция Эйлера. Абсолютно волшебным образом она пригождается в самых неожиданных местах. А вообще арифметические функции сами по себе не особо интересны, интересно их применение. А, кроме функции Эйлера, до применений далеко. Поэтому данной теме в курсе посвящено минимальное количество времени, необходимое для знакомства. Хотя у меня закралось подозрение, что мы можем по-разному понимать словосочетание «арифметическая функция». Если заглянуть в «Википедию»— вот ровно эти четыре мы и рассматриваем в курсе, так что мой выбор совпал с выбором автора статьи.
— С какими теоремами познакомятся слушатели?
— Лично у меня фаворитов три: теорема Ферма — Эйлера (по-английски — Fermat's Two Squares Theorem), теорема о существовании примитивного вычета по простому модулю, теорема о существовании нетривиального решения уравнения Пелля. Доказательства всех трех теорем — удивительное творение человеческой изобретательности. Есть две теоремы, которые мы упоминаем и не доказываем (по вышеназванным причинам), однако они очень крутые: квадратичный закон взаимности Гаусса и теорема Лагранжа о периодических цепных дробях. А так я даже не берусь оценить количество теорем в курсе, да и сделать это однозначно невозможно в принципе: их можно дробить, объединять — нет четкого критерия, какое верное утверждение можно называть теоремой, а какое никак нельзя.
— Какими суперспособностями будут обладать слушатели, окончившие курс?
— Слушатели смогут проводить кружки для сильных школьников, и это не шутка: курс разрабатывался для совместного бакалавриата ВШЭ и Центра педагогического мастерства. Кроме того, слушатели смогут, получив в рамках курса первичное представление, дальше углубляться в понравившийся подраздел теории чисел. А так — в курсе содержатся практические алгоритмичные инструменты для поиска ответов на именно теоретико-числовые вопросы. Вот примеры только некоторых из них: найти наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел (либо двух комплексных целых чисел), представить НОД в виде линейной комбинации исходных чисел; определить, является ли остаток (вычет) квадратичным по данному простому модулю; найти достаточно хорошее рациональное приближение данного иррационального числа; решить самые разные диофантовы уравнения. Все перечислить не берусь.
В курсе представлено пять больших концепций:
1. Понятие делимости как повод для начала разговора о науке «теория чисел».
2. Понятие остатка (вычета по модулю) как обобщение и усиление теории делимости.
3. Понятие цепной дроби как внезапно интересного и полезного объекта.
4. Элементарные комбинаторно-геометрические аспекты теории чисел, связанные с целочисленными решетками (т.е. c клетчатой бумагой), их роль в курсе — максимально ярко продемонстрировать удивительную многогранность теории чисел.
5. Диофантовы уравнения (т.е. уравнения, которые нужно решать не вообще, а именно в целых числах) как апогей всех исследований. Здесь используются знания из самых разных подразделов.
Фамилии математиков, в чью честь названы понятия и факты, попавшие в курс: Архимед, Блихфельд, Г. Вейль, Вильсон, Гаусс, Диофант, Дирихле, Евклид, Каталан, Кронекер, Лагранж, Лежандр, Мебиус, Минковский, Михайлеску, Пелль, Пифагор, Портсманн (инженер, изобрел формат А4), Рамануджан, Сильвестр, Ферма, Чэнь, Эйлер.
