Продолжаю серию заметок по книге D. Hand "Improbability Principle". Предыдущая часть содержит ссылки на более ранние.
Сам принцип --- это набор причин, по которым маловероятные события встречаются "так часто". Мы уже обсуждали принцип неизбежности, когда любое, сколь угодно маловероятное событие произойдет, если перебрать все возможности; закон достаточно больших чисел, который гласит, что вероятность хотя бы одного события из достаточно большой серии сколь угодно высока; и принцип выбора, согласно которому внимание фокусируется на интересных событиях, при этом большая доля неинтересных игнорируется.
Рассмотрим теперь рычаг. Суть явления в том, что малые отличия в исходных данных могут приводить к очень большим различиям в оцениваемых вероятностях.
Самое простое проявление --- статистическое. Осреднение проводится часто по неоднородной группе, и подгруппа может демонстрировать намного более высокую вероятность, чем вся группа.
Чтобы говорить о вероятности, нам нужно много попыток. Мы уже обсуждали, что вероятность погибнуть в авиакатастрофе для конкретного человека --- не имеет особого смысла. Имеет смысл вероятность погибнуть в авиакатастрофе в целом --- как осреднение по большому массиву данных. Летали миллионы или даже миллиарды, кто-то погиб, делим одно на другое...
Но ведь ясно, что у всех, кто взлетал, разные риски! Кто-то летит недалеко, кто-то --- над океаном. У кого-то новый самолет, у кого-то --- нет. Кто-то летит над страной, где всяко бывало. Ну, вы понимаете, к чему я веду.
Или вот удар молнии. Вероятность погибнуть от удара молнии мала, но: где-то грозы часты, а где-то их нет вовсе; где-то есть громоотвооды, а где-то нет; где-то есть высокие деревья, а где-то это редкость. Кто-то много ездит, кто-то сидит дома. И так далее.
Проф. Хенд приводит оценку риска быть убитым молнией за год: около 1 к 300 тыс. И рассказывает о майоре Саммерфорде из Фландрии, которого ударила молния и временно парализовала --- в 1918 г. Он уехал в Канаду и там в 1924 г. на рыбалке его снова ударила молния, и снова парализовала. Он поправился, но в 1930 был полностью парализован (от удара молнии) во время прогулки в парке. Умер он в 1932 г. (не от удара молнии). Но в 1936 г. молния ударила в его могилу.
А некий Рой Салливан выдержал семь ударов молнии, после все семи его осматривал один и тот же врач и случаи засвидетельствованы. Восьмой (точнее, первый) удар молнии в детстве --- опирается только на свидетельство пациента.
Второе проявление --- слабые воздействия. Например, столкновение упругих шаров (биллиард) очень неустойчиво динамически. Оценка показывает, что траектория после девяти последовательных столкновений настолько чувствительна к начальным данным и внешним воздействиям, что может повлиять даже гравитация тел игроков.
Напомню, что динамика атмосферы в той же степени неустойчива... поэтому рассчитывать на точный прогноз погоды на две недели не стоит и обозримом будущем.
Пример Бореля --- смещение одного грамма вещества на один сантиметр на расстояние одного светового года от Земли вносит стопроцентную погрешность в динамику молекулы в атмосфере через одну секунду (с учетом задержки на распространение воздействия, конечно).
Как это может проявляться? Хенд рассказывает о лошади по имени Умный Ганс, которая умела считать и отвечать на вопросы вроде "если восьмое число это вторник, какое число в пятницу?", ударяя копытом нужное число раз. Доля правильных ответов составляла 89%, причем даже в отсутствие дрессировщика. Однако проверка выяснила, что лошадь демонстрировала такой результат только тогда, когда спрашивающий знал ответ сам; а если не знал, доля снижалась до 6%. Таким образом, лошадь реагировала на подсказки со стороны вопрошающего. Например, переставала бить копытом после выражения удивления.
По этим же причинам лекарства тестируют двойным слепым методом: одной группе дают лекарство, другой --- плацебо, причем пациенты не знают, к какой группе относятся, и медсестры, которые дают лекарство, тоже не знают этого. И при анализе результатов это неизвестно. Именно этим эффектом объясняются многочисленные "а мне помогло", "младенцу помогло" и "собаке помогло" в спорах о гомеопатии. Впрочем, с гомеопатией все сложнее, помочь может входящий в состав сахарок, спирт или масло, и эффект будет реальным. Только эти продукты можно купить раз в тысячу дешевле))
Третье проявление --- зависимость. Оценка вероятности двух последовательных событий через перемножение вероятностей годится только для независимых событий. В случае зависимости она не работает. В предельном случае, когда одно событие влечет за собой другое, вероятность увидеть оба равна вероятности увидеть первое, как бы мала она не была.
Пример Хенда. В 1997 году ребенок умер во сне от синдрома внезапной смерти младенца. Через год второй ребенок той же женщины умер по той же причине. Женщину обвинили в убийстве и осудили, опираясь на свидетельство педиатра, который оценил вероятность такой двойной смерти в 1 к 73 млн.
Вероятность этого печального события (одиночного) оценивается в 1 к 1300. Однако женщина не входила в группу риска (не курила, была молода и здорова и т.п.), поэтому использовалась более низкая оценка в 1 к 8543.
Однако события нельзя считать независимыми! Это же дети одной и той же матери (и, возможно, одного и того же отца). Анализ статистики показал, что смерть второго ребенка по той же причине в 4-5 раз выше, чем просто смерть от СВСМ. По результатам пересмотра дела женщина была освобождена.
Добавлю, что здесь сработал еще и принцип выбора. После первой смерти женщина попала в поле зрения правоохранителей, и теперь вероятность попасть под подозрение равна вероятности второй смерти, пусть даже эти события и были бы независимы. А это всего 1/8543.
Ну и, чтобы не заканчивать на грустной ноте, немного рулетки. Вообще-то в казино принимают меры к тому, чтобы все сектора выпадали равновероятно. Калибруют, проверяют, следят за статистикой. Это важно. Есть классическая литература на эту тему. Малейшие отклонения в пользу тех или иных секторов могут привести к серьезным выигрышам.
Человек по имени Джозеф Джаггер обчистил рулетку в Монте-Карло в 1875 году. Он нанял людей, которые собирали статистику, и он выяснил что одно колесо генерирует 9 секторов чаще, чем остальные. Он ставил на них и выигрывал. Казино переставило колеса, но Джаггер определил нужное по царапине. Казино поменяло что-то в самих колесах, и он снова стал проигрывать. Тогда он ушел, забрав выигрыш (порядка 4 млн).
Из моих заметок про разностные уравнения можно узнать, что случайное блуждание с равными вероятностями ведет себя не так, как с неравными; например, возвращается в нуль бесконечно много раз. Таким образом, сколь угодно малые различия вероятностей приводят к качественно другому результату.
