Все мы привыкли к тем предметам, которые окружают нас, и часто не замечаем, сколько разнообразных геометрических фигур находится вокруг. А кое-кто, возможно считает, что различные замысловатые линии или поверхности можно встретить только в книгах ученых-математиков и нигде больше.
Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим всевозможные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много. Просто мы этого раньше не замечали.
Вот наша комната. Все ее стены, пол и потолок являются плоскостями (мы не будем обращать внимание на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллелепипеда.
Посмотрим на паркетный пол. Планки паркета- прямоугольники.
Пройдем в кухню или ванную комнату. Плитки пола там часто бывают либо правильными шестиугольниками, либо восьмиугольниками, между которыми уложены небольшие квадратики.
Но вернемся в комнату и посмотрим на мебель. Шкаф в своей основе- параллелепипед. Письменный стол- ни что иное, как очень плоский параллелепипед, лежащий на двух других параллелепипедах- тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике –лампа с абажуром. Этот абажур-конус.
Ведро представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндрической формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водопровод, паровое отопление, газопровод)- цилиндры. А там, где трубы изогнуты, образуются так называемые каналовые, или трубчатые, поверхности.
В буфете стоит чайная посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогранной призмы. А вот и блюдечко- снова усеченный конус. Тут же лежит воронка. Она состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой.
Нальём в стакан воду. Края ее поверхности образуют форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась, и края водной поверхности станут эллипсом.
Выйдем на улицу. Перед нами- дома. Если не обращать внимания на различные особенности их архитектурной отделки, можно сказать, что стены домов являются плоскостями. Две стены, встречаясь под углом, пересекаются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, есть тело, образованное пересекающимися друг с другом плоскостями, т.е. многогранник.
Многие жилые дома, дворцы, общественные здания украшены колоннами. Колонна в большинстве случаев- цилиндры, но могут иметь более сложную форму.
Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических форм положено в их основу. Вот ,например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырёхугольная усеченная пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные в свою очередь восьмиугольной пирамидой. На берегу Москвы-реки возвышается Беклемишевская башня. Ее основание цилиндрической формы переходит в усеченную восьмиугольную пирамиду и завершается правильной восьмиугольной пирамидой.
По улице едут автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения- круги. Мы настолько привыкли к этому, что даже не думаем об окружности как о кривой, которая помогла людям во много раз облегчить свой труд. А ведь было время, когда люди еще не знали колеса, когда тяжести волокли.
Посмотрим на автомобильные фары. Их внутренняя поверхность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пучком параллельных лучей: тогда сила света будет слабее всего уменьшаться с увеличением расстояния. А чтобы зеркало фар отражало лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида вращения, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения- это поверхность, которая образуется при вращении параболы вокруг оси.
У некоторых марок автомобилей фары находятся внутри капота и снаружи виднеется только стекло. У других же весь корпус фары выступает наружу и ясно видно, что она параболической формы.
Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо свои мощные лучи.
Перед нами мост. Арки мостов бывают разной формы: одни из них эллиптические, другие- параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Спасательный круг по форме очень близок к тору. Тор- это поверхность, образующая при вращении окружности вокруг оси, с которой она не пересекается. Тор обладает многими замечательными свойствами.
Мы подходим к радиостанции. Там возвышаются радиомачты с излучателями электромагнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты. Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных друг на друга. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стержнями.
Рассмотрим любую из секций (они отличаются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать замечательную кривую поверхность, которая называется однополосным гиперболоидом и состоит из прямых линий. Те прямолинейные стержни, которые мы видим, не что иное, как прямолинейные образующие этой поверхности. Посмотрите на однополосный гиперболоид. Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью.
Своим названием однополосный гиперболоид обязан гиперболе. Эта поверхность образована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость). Но если бы мы вращали нашу гиперболу вокруг другой оси, то получили бы поверхность, состоящую из двух частей (полостей), которую называют двуполостным гиперболоидом.
Иногда строят односекционные вышки из прямолинейных металлических стержней высотой в многоэтажный дом. Так построена водонапорная башня около Сельскохозяйственной академии им. Тимирязева в Москве. Такие башни были впервые сконструированы советским инженером В.Г. Шуховым (1853-1939) и называются шуховскими башнями.
А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной передачи. Провода от собственной тяжести слегка провисают. Какая же линия образуется при этом? Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстояния, приходится учитывать, что его длина (за счет провисания) будет большей, чем расстояние между конечными пунктами линии электропередачи. И чтобы точно подсчитать длину проводов, необходимо определить, какая именно линия образуется при провисании провода между каждыми двумя столбами. Оказывается, провод провисает по так называемой цепной линии.
Точно так же провисает и шнур, укрепленный на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная линия очень похожа на параболу, но это не парабола; свойства цепной линии и параболы различны.
Наш поезд идет по прямолинейному железнодорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов. Плавное движение поезда на изгибах железнодорожного полотна обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окружности, а также по некоторым довольно замысловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка отталкивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что в этом случае на вагоны действует центробежная сила, стремящаяся опрокинуть их и отклоняющая все тела, находящиеся в поезде, к внешней стороне закругления.
Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на поворотах слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем делают тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо сразу и круто приподнять один из рельсов, и вагоны будут испытывать при переходе резкие и сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой переходной кривой (вдоль которой искривленность возрастает постепенно), и лишь потом эту кривую переводят в окружность. Так же поступают и в конце поворота. В качестве переходных кривых используются разные линии (в зависимости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т.д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу так называемой спирали Корню.
До сих пор мы говорили только о тех простейших линиях и поверхностях, которые видны с первого взгляда, где бы ни были, куда бы не пошли. А если присмотреться внимательнее, мы будем обнаруживать все новые и новые линии и поверхности.
Заглянем на завод. Заводские трубы- пример усеченного конуса; широкие снизу, они постепенно суживаются кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнообразных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винтовые нарезки, мы увидим станки с эллиптическими колесами, зубчатые колеса с самыми разнообразными формами зубцов, выточенными по дуге циклоиды, эллипса, эволюты круга. Свойства этих кривых, имеющих важное применение в технике, изучаются высшей математикой.
Кажется, мы не упомянули еще о шаровой поверхности. А ведь и она встречается часто. Вспомним хотя бы шариковые подшипники. Более того, форму шара придают иногда и газгольдерам, т.е. резервуарам для хранения газа. Это объясняется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.
А сколько еще встречается различных поверхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!
Вот паровой котел, напоминающий цилиндр, в нем народится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть не заметно для глаза) изгибаются, образуя поверхность очень сложной и неправильной формы, которую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать котел на прочность. Сложную форму имеет и корпус подводной лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. Обратите внимание на форму корабельного корпуса. От нее зависит и прочность корабля, и его устойчивость, и скорость.
Высокие скорости движения заставили инженеров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличением скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно значительно уменьшить. Например, гоночный автомобиль. Его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обтекали машину.
Мотор автомобиля заключён в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку. И капот, и крыша, и задняя стенка- не плоские. Они представляют собой сложные поверхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются инженеры, тщательно их рассчитывающие в своих конструкторских бюро.
Итак, мы познакомились со множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите множество таких геометрических форм, о которых мы здесь упоминали.
Впрочем, об одной из них, о линии, которую никто не видит, но которая всегда находится около нас, мы расскажем, ибо заметить ее самому, ничего не зная о ней заранее, невозможно.
Пол и потолок в нашей комнате поддерживаются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб не заметен для глаза), и чтобы рассчитать допустимую нагрузку на балки, архитектор должен знать линию их прогиба. Оказывается, балка, поддерживающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.
Наша статья подходит к концу. В заключение напомним, что все мы живем тоже на своеобразной поверхности, которая, хотя и именуется земным шаром, на самом деле является, как говорят астрономы, геоидом и по форме очень близка к эллипсоиду вращения. Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, вращением которого образован геоид, относятся друг к другу, как 299:300). Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.
Мы видим, сколько самых разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности- при строительстве жилищ, заводов, мостов машин, в сухопутном, морском и воздушном транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометрических линий и поверхностей позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные технические задачи.
Но, чтобы применять эти свойства в технике, надо их знать. Следовательно, надо изучать все эти линии и поверхности. И не только их, но и многие другие, так как техника развивается и с каждым годом использует для своих нужд все новые и новые геометрические формы.
Изучая свойства различных линий и поверхностей, мы ставим себе целью выразит эти свойства в виде формул, чтобы уметь по ним производить расчеты наших машин, зданий и многих других сооружений.
Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.
Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и поверхности.
