Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Проведём с системой равносильные преобразования:
При переходе (1) используется тот факт, что уравнение |t| = a (при a > 0) имеет два решения: t = a или t = –a.
Переход (2) от системы из двух объединений к объединению из четырёх систем получается из следующих соображений. Символ системы – фигурная скобка – обозначает требование одновременного выполнения нескольких условий и по смыслу соответствует логическому умножению, а символ объединения (квадратная скобка) означает необходимость выполнения хотя бы одного из требований и соответствует логическому сложению (см. заметку «О равносильных преобразованиях (для школьников)»). Присвоив каждому выражению буквенное обозначение:
и заменив логические умножение и сложение на «обычные», можно рассматриваемую систему объединений формально представить в виде:
(A + B)·(C + D)
Данное описание также формально можно преобразовать как обычное алгебраическое:
(A + B)·(C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D ,
а затем вернуться к прежней форме записи с фигурными и квадратными скобками.
После перехода (3) производится решение каждой из четырёх систем: переменная y выражена из первого уравнения соответствующей системы, а ко второму уравнению прибавлено первое (проведено исключение y из выражения второго уравнения). В итоге после перехода (4) мы получаем четыре решения исходной системы, приведённой в условии задачи.
Ответ
(1; –1), (–¹/₃; ⁵/₃), (¹/₃; –⁵/₃), (–1; 1)
Комментарий
Рассмотрим графический способ решения.
График первого уравнения системы представляет собой совокупность двух прямых параллельных линий:
Построение графика второго уравнения |x – y| = 2 рассмотрено в комментарии к заданию А-116. Решения системы есть точки пересечения графиков её уравнений. Эти точки имеют координаты (1; –1), (–¹/₃; ⁵/₃), (¹/₃; –⁵/₃), (–1; 1) и располагаются в вершинах параллелограмма:
Разобранная задача входит в небольшую группу упражнений по алгебре, в которых решения системы уравнений могут быть представлены как вершины четырёхугольников различных типов – как уже сказано выше, в данном задании это параллелограмм. В упражнении А-112 решения располагались в вершинах квадрата (частный случай параллелограмма):
в задачах А-113 и А-116 получались ромб и прямоугольник соответственно:
а в А-115 – трапеция:
Также существуют системы уравнений, имеющие три разных решения – на плоскости они могут быть представлены как вершины треугольника, что иллюстрируется графиками уравнений из задания А-114:
Вообще говоря, на создание заданий А-112 – А-117 меня сподвигли замечания, высказанные на Дзене в комментариях к упражнению А-61. Сейчас его формулировка и ход решения их учитывают – с определёнными оговорками эта задача тоже может рассматриваться как система уравнений
решения которой располагаются в вершинах прямоугольника, который в отличие от случая из А-116 не повёрнут «наискосок», а ориентирован «прямо»:
В заключение стоит отметить, что геометрическая интерпретация решений уравнений бывает довольно разнообразной. Например, в одном из способов решения задания А-15 рассматривается уравнение вида
t⁵ + t⁴ + t³ + t² + t + 1 = 0
Если его корни изобразить на комплексной плоскости, то они расположатся в пяти вершинах правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность:
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik