Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Рассмотрим случаи с разными знаками подмодульного выражения в первом уравнении системы.
а) 2x – y ⩾ 0
Первое уравнение запишется в виде
2x – y = 1
Выразим из него y:
y = 2x – 1
и подставим во второе уравнение системы:
(2x + y – 2)·(2x + y – 4) = 0 ⇔ (2x + 2x – 1 – 2)·(2x + 2x – 1 – 4) = 0 ⇔
⇔ (4x – 3)·(4x – 5) = 0 ⇔
Теперь можно найти соответствующие значения y:
y = 2x – 1 = 2·³/₄ – 1 = ¹/₂
и
y = 2x – 1 = 2·⁵/₄ – 1 = ³/₂
Пара чисел x = ³/₄ , y = ¹/₂ при подстановке в 2x – y ⩾ 0 (условие, в соответствии с которым раскрывался модуль в исходной системе) обращает это выражение в верное числовое неравенство. Это означает, что рассматриваемые числа действительно являются решениями исходной системы.
Подстановка x = ⁵/₄, y = ³/₂ в 2x – y ⩾ 0 также позволяет убедиться, что эта пара чисел – ещё одно решение.
б) 2x – y < 0
Первое уравнение системы в этом случае приобретает вид:
y – 2x = 1 или y = 2x + 1
Подставляем последнее равенство во второе уравнение системы:
(2x + y – 2)·(2x + y – 4) = 0 ⇔ (2x + 2x + 1– 2)·(2x + 2x + 1– 4) = 0 ⇔
⇔ (4x – 1)·(4x – 3) = 0 ⇔
Находим значения y:
y = 2x + 1 = 2·¹/₄ +1 = ³/₂
и
y = 2x +1 = 2·³/₄ + 1 = ⁵/₂
Легко проверить, что пары x = ¹/₄, y = ³/₂ и x = ³/₄, y = ⁵/₂ являются решениями (удовлетворяют условию 2x – y < 0).
Таким образом, исходная система уравнений имеет четыре решения.
Ответ
(³/₄; ¹/₂), (⁵/₄; ³/₂), (¹/₄; ³/₂), (³/₄; ⁵/₂)
Комментарий
Решить систему можно графически. График первого уравнения получается из следующих преобразований:
Для графика второго можно воспользоваться Правилом 3(у):
(2x + y – 2)·(2x + y – 4) = 0 ⇔
Решения системы есть точки пересечения графиков её уравнений:
Как видно, эти точки располагаются в вершинах ромба и имеют координаты (³/₄; ¹/₂), (⁵/₄; ³/₂), (¹/₄; ³/₂), (³/₄; ⁵/₂).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik