Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Проведём с системой равносильные преобразования:
При переходе (1) используется тот факт, что уравнение |t| = a (при a > 0) имеет два решения: t = a или t = –a.
Переход (2) от системы из двух объединений к объединению из четырёх систем получается из следующих соображений. Символ системы – фигурная скобка – обозначает требование одновременного выполнения нескольких условий и по смыслу соответствует логическому умножению, а символ объединения (квадратная скобка) означает необходимость выполнения хотя бы одного из требований и соответствует логическому сложению (см. заметку «О равносильных преобразованиях (для школьников)»). Присвоив каждому выражению буквенное обозначение:
и заменив логические умножение и сложение на «обычные», можно рассматриваемую систему объединений формально представить в виде:
(A + B)·(C + D)
Данное описание также формально можно преобразовать как обычное алгебраическое:
(A + B)·(C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D ,
а затем вернуться к прежней форме записи с фигурными и квадратными скобками.
После перехода (3) производится решение каждой из четырёх систем: переменная y выражена из первого уравнения соответствующей системы, а ко второму уравнению прибавлено первое (проведено исключение y из выражения второго уравнения). В итоге после перехода (4) мы получаем четыре решения исходной системы, приведённой в условии задачи.
Ответ
(1,5; –0,5), (–0,5; 1,5), (0,5; –1,5), (–1,5; 0,5)
Комментарий
Рассмотрим графический способ решения системы.
Построение графика первого уравнения |x + y| = 1 рассмотрено в задании А-111. График второго представляет собой совокупность двух прямых параллельных линий:
Решения системы есть точки пересечения графиков её уравнений. Эти точки имеют координаты (1,5; –0,5), (–0,5; 1,5), (0,5; –1,5), (–1,5; 0,5) и располагаются в вершинах прямоугольника:
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik