В задании А-15 предлагалось найти все корни уравнения
z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = 0
Для этой задачи в течение года после опубликования на Дзене читателями было предложено несколько других интересных способов решения.
1.
Пользователь «Павел А.» показал, что левая часть уравнения легче раскладывается на множители с использованием иного подхода:
Более подробно это выглядит так. Сначала у первых трёх слагаемых выносится за скобку общий множитель z³ , а у последних трёх – множитель 8:
z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = z³·(z² + 2z + 4) + 8·(z² + 2z + 4) ,
далее квадратный трёхчлен z² + 2z + 4 тоже выносится за скобку как общий множитель:
z³·(z² + 2z + 4) + 8·(z² + 2z + 4) = (z² + 2z + 4)·(z³ + 8)
После этого остаётся только расписать куб суммы:
(z² + 2z + 4)·(z³ + 8) = (z² + 2z + 4)·(z + 2)·(z² – 2z + 4) ,
чтобы получить разложение, идентичное рассмотренному в исходном варианте решения.
2.
Для многочлена в левой части уравнения возможно несколько способов разложения на множители, определяющих далее ход решения. Пользователь «Ветриница дубравная» предложил(а) свой.
Рассмотрим его поэтапно. Сгруппируем чётные и нечётные слагаемые в левой части исходного уравнения:
z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = 0 ⇔
z⁵ + 4z³ + 16z + 2z⁴ + 8z² + 32 = 0 ⇔
z·(z⁴ + 4z² + 16) + 2·(z⁴ + 4z² + 16) = 0 ⇔
(z⁴ + 4z² + 16)·(z + 2) = 0
С множителем (z + 2) ситуация понятна (он даёт действительный корень z=–2), остаётся разобраться с другим. Для нахождения остальных корней нужно будет решить биквадратное уравнение вида:
z⁴ + 4z² + 16 = 0
Используем для этого типовую замену t = z² и получим:
t² + 4t + 16 = 0
Дискриминант такого уравнения D = 4² – 4·1·16 = –48 < 0, поэтому у него будут комплексные корни:
Возвращаясь к старой переменной получаем, что
поэтому далее придётся извлечь квадратные корни из полученных комплексных чисел.
Начнём с первого (t₁).
Найдём модуль этого числа
Далее находим аргумент φ. В нашем случае он должен быть таким, чтобы
Данному требованию отвечает угол 2π/3 радиан, значит запись t₁ в тригонометрической форме будет
Из формулы Муавра следует, что значения квадратного корня ω из z равны
где k принимает значения 0 или 1. В нашем случае φ/2 = π/3 и
Таким образом, мы получили значения ещё двух корней исходного уравнения:
Проделаем тоже самое с t₂ .
Такие величины синуса и косинуса соответствуют φ = 4π/3, а φ/2 = 2π/3, следовательно значения корня будут
В итоге мы получили оставшиеся два значения корней уравнения:
3.
Весьма оригинальный способ описал пользователь с ником «Неправильный учитель»:
Разберём и этот путь решения. Выполним замену переменной, положив z = 2t:
(2t)⁵ + 2·(2t)⁴ + 4·(2t)³ + 8·(2t)² + 16·(2t) + 32 = 0 ⇔
32t⁵ + 2·16t⁴ + 4·8t³ + 8·4t² + 32t + 32= 0 ⇔
32t⁵ + 32t⁴ + 32t³ + 32t² + 32t + 32 = 0 ⇔
t⁵ + t⁴ + t³ + t² + t + 1 = 0
Если принять, что и t ≠ 1, то становятся допустимы следующие преобразования:
Отыщем отдельно значения корня шестой степени из единицы. В соответствии с формулой Муавра такие корни получаются из выражения:
В нашем случае |1| = 1, а φ = 0, так как 1 – действительное число. Поэтому корни из единицы будут получаться из выражения:
Находим их:
Из полученных значений следует любопытная вещь, на которую хочется специально обратить внимание. Поскольку (см. выше)
то решения этого уравнения на комплексной плоскости будут изображаться пятью вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность (вершина, соответствующая t = 1, «выколота») (рис. 1).
Помня, что z = 2t , находим корни исходного уравнения:
Подводя общий итог, необходимо отметить, что все рассмотренные варианты решения приводят к одинаковым результатам (было бы странно, если б это было не так) и в заключение остаётся искренне поблагодарить своих уважаемых читателей за предложенные способы нахождения ответов.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: