Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Рассмотрим случаи с разными знаками подмодульного выражения x в первом уравнении системы.
а) x ⩾ 0
Первое уравнение запишется в виде
3x + 3x + 2y = 6 или 3x + y = 3
Выразим из него y:
y = 3 – 3x
и подставим во второе уравнение системы:
(x + y)·(x + y – 3) = 0 ⇔ (x + 3 – 3x)·(x + 3 – 3x – 3) = 0 ⇔
⇔ (3 – 2x)·(–2x) = 0 ⇔ x·(3 – 2x) = 0 ⇔
Оба полученных значения x удовлетворяют условию неотрицательности и теперь можно найти соответствующие значения y:
y = 3 – 3x = 3 – 3·0 = 3
и
y = 3 – 3x = 3 – 3·³/₂ = –³/₂.
Таким образом пары чисел x = 0, y = 3 и x = ³/₂, y = –³/₂ являются решениями исходной системы.
б) x < 0
Первое уравнение системы в этом случае приобретает вид:
3x – 3x + 2y = 6 или y = 3
Полученный результат говорит о том, что если среди решений системы имеются такие, где x < 0, то значение y в таких случаях всегда будет равным 3.
Подставляем равенство y = 3 во второе уравнение системы:
(x + y)·(x + y – 3) = 0 ⇔ (x + 3)·(x + 3 – 3) = 0 ⇔
⇔ x·(x + 3) = 0 ⇔
Как видно, значение x = 0 не удовлетворяет рассматриваемому здесь требованию x < 0, следовательно в качестве решения системы уравнений подходит одна пара чисел: x = –3, y = 3.
Обобщая полученные результаты получаем, что исходная система уравнений имеет три решения.
Ответ
(0; 3), (³/₂; –³/₂), (–3; 3)
Комментарий
Рассмотрим графический способ решения системы. Первое её уравнение можно преобразовать, представив как выражение функции y(x):
y = 3 – 3·(x + |x|)/2
График функции g(x) = (x + |x|)/2 рассматривался в задании А-73. Последовательно применив к нему Правило 5(ш), Правило 3(ш) и Правило 1(ш) получим график y(x).
Для построения графика второго уравнения воспользуемся Правилом 3(у):
Решения системы есть точки пересечения графиков её уравнений:
Как видно, эти точки располагаются в вершинах треугольника и имеют координаты (0; 3), (³/₂; –³/₂), (–3; 3).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik