Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Для решения рассмотрим разные знаки подмодульных выражений.
а) x + y ⩾ 0, x – y ⩾ 0
В этом случае исходную систему можно переписать в виде
Для её решения сложим первое уравнением со вторым, а из второго выразим y:
Пара чисел x = 1, y = 0 при подстановке в x + y ⩾ 0 и в x – y ⩾0 (условия, с которыми раскрывались модули в исходной системе) обращает эти выражения в верные числовые неравенства. Это означает, что рассматриваемые числа действительно являются решениями системы.
б) x + y ⩾ 0, x – y < 0
Здесь
Пара чисел x = 0, y = 1 удовлетворяет требованиям x + y ⩾ 0 и x – y < 0, поэтому также является решением исходной системы уравнений.
в) x+ y < 0, x– y ⩾0
Имеем:
Легко проверить, что числа x = 0, y = –1 соответствует условиям раскрытия модулей и потому являются решениями.
г) x + y < 0, x – y < 0
При отрицательных значениях подмодульных выражений получается, что
Как и в других случаях, пара x = –1, y = 0 соответствует требованиям x + y < 0, x – y < 0, следовательно тоже является решением системы.
Таким образом, исходная система уравнений имеет четыре решения.
Ответ
(1; 0), (0; 1), (0; –1), (–1; 0)
Комментарий
Решить систему можно графически. Ранее в задании А-111 было рассмотрено построение графиков уравнений |x + y| – 1 = 0 и |x – y| – 1 = 0 – они соответственно равносильны первому и второму уравнениям системы. Решения её есть точки пересечения этих графиков:
Как видно, эти точки располагаются в вершинах квадрата и имеют координаты (1; 0), (0; 1), (0; –1) и (–1; 0).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik