Задание
Решите систему уравнений:
Решение
Рассмотрим случаи с разными знаками подмодульных выражений в первом уравнении системы. Всего их возможно четыре.
а) x ⩾ 0, x – 2y ⩾ 0
В этом случае исходную систему можно переписать в виде
Для её решения вычтем из первого уравнения второе, а из второго выразим x:
Пара чисел x = ¹⁰/₃, y = ²/₃ удовлетворяют требованиям x ⩾ 0 и x – 2y ⩾ 0 (условия, с которыми раскрывались модули в исходной системе). Это означает, что рассматриваемые числа действительно являются решениями системы.
б) x ⩾ 0, x – 2y < 0
Здесь
Пара чисел x = 2, y = 2 удовлетворяет требованиям x ⩾ 0 и x – 2y < 0, поэтому также является решением исходной системы уравнений.
в) x < 0, x – 2y ⩾ 0
Имеем:
Легко проверить, что числа x = –10, y = –6 подходят под требования x < 0,
x – 2y ⩾ 0, то есть действительно являются решениями.
г) x < 0, x – 2y < 0
При отрицательных значениях подмодульных выражений получается, что
Как и в других случаях, пара x = –6, y = –2 соответствует требованиям x < 0, x – 2y < 0, следовательно тоже является решением системы.
Таким образом, исходная система уравнений имеет четыре решения.
Ответ
(¹⁰/₃; ²/₃), (2; 2), (–10; –6), (–6; –2)
Комментарий
Рассмотрим графический способ решения системы.
Первое её уравнение можно преобразовать, представив как выражение функции y(x):
y = 4 – |x|
Последовательно применив к графику y = x Правило 8(ш), Правило 3(ш) и Правило 1(ш) получим график y(x).
Для построения графика второго уравнения можно действовать аналогично, как это было в задании А-111:
Приведённые преобразования показывают, что искомый график представляет собой две параллельные линии. Решения системы есть точки пересечения графиков её уравнений:
Как видно, эти точки располагаются в вершинах трапеции и имеют координаты (¹⁰/₃; ²/₃), (2; 2), (–10; –6), (–6; –2).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik