Статьи по теме:
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Данная статья — продолжение рассказа о тригонометрических функциях. При изложении материала я буду ссылаться на предыдущую статью, поэтому настоятельно рекомендую с ней ознакомиться.
Итак, мы установили, что для каждого размера любого непрямого угла прямоугольного треугольника существует коэффициент пропорциональности, который связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Три стороны разбиваются на пары тремя способами, а поскольку острых углов в прямоугольном треугольнике два, то три способа при двух углах дают нам шесть тригонометрических функций. Еще раз отмечу, исходная зависимость длин сторон от размера острого угла одна, а функций шесть, поэтому все они взаимозависимые.
Ранее мы предположили, что существует связь между угловыми и линейными параметрами треугольников. Именно это позволило нам ввести понятия тригонометрических функций. А какая геометрическая фигура ярче всего воплощает в себе такую зависимость? Конечно, окружность. Длина дуги окружности (линейный параметр), которую отсекает центральный угол (угловой параметр), равна произведению радиуса окружности на размер этого центрального угла в радианах. А если мы построим окружность с радиусом, равным единице, сразу получим, что длина дуги равна размеру центрального угла, выраженному в радианах. Так и поступим.
Поместим центр единичной окружности в центр декартовой системы координат. Построим острый центральный угол, одна сторона которого совпадает с положительной осью x. А вторая сторона, как и сам угол, располагается в первой четверти системы координат. Естественно, стороны центрального угла пересекают окружность в двух точках. Первая точка при заданных нами условиях всегда имеет одну и ту же координату (x, y) = (1, 0), а координаты второй точки пересечения (X₀, Y₀) будут зависеть от размера угла.
Что такое координата X₀? Это длина отрезка, который является проекцией единичного синего отрезка на ось x. Соответственно, Y₀ — длина этого же отрезка, спроецированного на ось y.
Нетрудно заметить, что X₀ и Y₀ при этом являются катетами, а единичный синий отрезок — гипотенузой серого треугольника. Вспоминаем, длина оранжевого катета равна произведению длины синей гипотенузы и косинуса угла β. Длина синей гипотенузы — единица, получается, длина оранжевого катета равна косинусу угла β. Иначе говоря, косинус угла β — это координата X₀ точки пересечения стороны центрального угла β и единичной окружности: cos(β) = X₀.
Длина зеленого катета равна произведению длины синей гипотенузы и синуса угла β. Длина синей гипотенузы всё та же единица, поэтому длина зеленого катета равна синусу угла β. То есть синус угла β — это координата Y₀ точки пересечения стороны центрального угла β и единичной окружности: sin(β) = Y₀.
Теперь мы можем сформулировать новые определения для синуса и косинуса угла. Косинус угла — это абсцисса точки пересечения стороны этого центрального угла с единичной окружностью, центр которой расположен в центре декартовой системы координат, а синус угла — ордината той же самой точки. При этом вторая сторона этого центрального угла должна совпадать с положительной осью системы координат.
Зачем мы ввели новые определения? Вспоминаем, зависимые друг от друга коэффициенты пропорциональности, которые мы назвали синус и косинус, связывают линейные величины (длины сторон прямоугольного треугольника) с угловыми параметрами (размеры внутренних углов того же треугольника). Но при этом угловые параметры лежат в ограниченном диапазоне размеров острого угла: больше ноля, но меньше четверти оборота.
Новое определение синуса и косинуса, во-первых, однозначно связывает их вместе, как две координаты одной и той же точки, во-вторых, позволяет использовать в качестве аргумента этих функций весь диапазон углового измерения от ноля до полного оборота. Теперь использование этих функций для вычисления сторон прямоугольного треугольника является лишь частным случаем их применения.
Посмотрим, как меняются значения функций синус и косинус при изменении размера угла.
I четверть декартовой системы координат:
0 ≤ β ≤ π/2, 0 ≤ sin(β) ≤ 1, 0 ≤ cos(β) ≤ 1.
II четверть декартовой системы координат:
π/2 ≤ β ≤ π, 0 ≤ sin(β) ≤ 1, -1 ≤ cos(β) ≤ 0.
III четверть декартовой системы координат:
π ≤ β ≤ 3π/2, -1 ≤ sin(β) ≤ 0, -1 ≤ cos(β) ≤ 0.
IV четверть декартовой системы координат:
3π/2 ≤ β ≤ 2π, -1 ≤ sin(β) ≤ 0, 0 ≤ cos(β) ≤ 1.
Диапазон изменения значений этих функций от минус единицы до плюс единицы. Понятно, что когда размер угла становится больше полного оборота, значения функций синус и косинус в точности повторяются.
И чтобы окончательно распрощаться с прямоугольным треугольником, проверим выполнение нескольких тождеств для варианта, когда косинус и синус определяются как координаты точки пересечения центрального угла и единичной окружности.
Начнем с выражения:
cos(β)² + sin(β)² = 1, для любого значения угла β в диапазоне от ноля до полного оборота.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности с радиусом R и центром окружности в точке с координатами (x₀, y₀) имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = R².
Если R = 1, а центр окружности располагается в точке с координатами (0,0), как в нашем случае, то уравнение упрощается до:
x² + y² = 1.
Учитывая, что для любого угла β: cos(β) = x, sin(β) = y. Получим:
cos(β)² + sin(β)² = 1.
А вот тождества cos(β) = sin(π/2-β) и sin(β) = cos(π/2-β) пока доказывать не будем. Сначала построим графики функций синус и косинус. По оси абсцисс будем откладывать значения угла в радианах, а по оси ординат, как обычно, значение функции.
Почему для оси абсцисс мы выбираем единицей измерения радиан, а не градус? Потому что такое представление более естественно с точки зрения математики, я пытался это обосновать в статье «Градусы и радианы. Кратко».
Если вас не устроили мои объяснения, могу ответить по-другому. С помощью тригонометрических функций в математике и физике решается огромное количество задач, и при их решении использование градусов либо затрудняло бы поиск ответа, либо делало бы получение результата невозможным. Кроме того, если вам так очень хочется, никто не мешает нанести на ось абсцисс еще одну разметку в градусах. Я же буду придерживаться стандартного варианта в радианах.
Так будет выглядеть построение графика cos(x) для диапазона угла 0 ≤ x ≤ π.
Для sin(x) и того же диапазона угла 0 ≤ x ≤ π картинка будет немного иной.
Естественно, что при построении графика необходимо определять значения функций и при отрицательных значениях аргументов. А как угол может быть отрицательным?
Не будем рассуждать о природе отрицательных чисел, а подойдем к этому вопросу формально и очень просто. На горизонтальной числовой оси отрицательные числа располагаются слева от пограничного значения ноль. А положительные числа — справа. Если мы хотим переместиться по горизонтальной оси от любого числа вправо, мы должны прибавить к этому числу длину отрезка, на которую происходит перемещение. И, напротив, если мы хотим переместиться влево от того же числа, мы должны вычесть из него длину отрезка.
Поэтому, с точки зрения числовой оси, операция сложения или иначе увеличения числа – это движение вправо, а операция вычитания, то есть уменьшение числа – движение влево.
При таком подходе увеличение центрального угла от ноля до полного оборота, которое мы производили ранее, это движение в положительную сторону, значит, движение в противоположную сторону — это уменьшение угла или движение в отрицательную сторону.
На практике это означает, что одна сторона центрального угла, которая совпадает с положительной осью абсцисс, остается неподвижной, а вторая, которая дает точку пересечения с единичной окружностью, будет перемещаться по часовой стрелке, в отличие от положительного направления — против часовой стрелки.
Применив всё сказанное, получаем графики функций косинус
и синус.
Совместив два графика на одном рисунке, ожидаемо наблюдаем, что эти графики полностью идентичны, только сдвинуты по оси абсцисс на величину π/2. Таким образом, мы убедились, что для любого x выполняются равенства cos(x) = sin(π/2-x) и sin(x) = cos(π/2-x).
Полученные графики необходимо рассмотреть более подробно. Но тогда размер этой статьи превысит все разумные пределы. Поэтому отложим эту задачу на следующий раз. Как пишут, продолжение следует.
Удачи вам. Дерзайте.
