Статьи в продолжение темы:
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Поговорим о синусе и косинусе.
Но начнем разговор с прямоугольного треугольника. Почему с него? Потому что это самый главный треугольник.
Любой треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника. Любая плоская геометрическая фигура с прямолинейными границами разбивается на какое-то количество прямоугольных треугольников. Длины сторон такого треугольника связаны известной с древних времен зависимостью. Один угол такого треугольника равен четверти оборота или 90 градусам. А прямые углы очень важны. Вспомните, кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, построенный от этой точки к прямой. Оси декартовой системы координат при пересечении образуют прямой угол. Короче, прямоугольный треугольник — это лидер среди треугольников.
Немного очевидности. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен четверти оборота или 90 градусам. Самая длинная его сторона называется гипотенузой, две других — катетами. Длины сторон связаны зависимостью, которую называют теорема Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Сумма внутренних углов прямоугольного треугольника, как и у любого другого, равна половине оборота или 180 градусам. Но есть нюанс. Поскольку размер одного угла зафиксирован, то, указав любой непрямой угол, мы сразу определяем второй непрямой угол простым вычитанием из 90 градусов размера известного угла.
Вспоминаем, как мы устанавливаем равенство двух треугольников. С помощью трех признаков и одного дополнительного условия. И для этого нам требуются три характеристики треугольника. Либо длины трех сторон, либо длины двух сторон и размер угла, либо размеры двух углов и длина одной стороны. А что такое доказать равенство двух треугольников? Это означает, что нам удалось однозначно определить все характеристики геометрической фигуры. Другими словами, для вычисления параметров треугольника требуются три величины. А вот для прямоугольного треугольника это требование снижается до двух величин. И этот факт тоже подчеркивает «избранность» прямоугольного треугольника.
Что это за два параметра, которые полностью определяют прямоугольный треугольник? Логично рассуждая, если мы будем знать длины любых двух сторон прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора, мы определим длину третьей стороны. И, как мы знаем, три отрезка собираются в треугольник единственно возможным образом.
А как быть, если нам известен размер непрямого угла и длина любой стороны? Понятно, что, зная величину одного непрямого угла, мы легко определим размеры всех углов прямоугольного треугольника. Но как нам это поможет вычислить длину еще одной стороны треугольника? Третью сторону мы потом узнаем через теорему Пифагора.
Вот тут и появляются синус и косинус.
Сначала небольшое отступление. Рассмотрим произвольный треугольник с длинами сторон a, b и c. Построим треугольник, все стороны которого, скажем, на четверть больше. Новый треугольник подобен исходному. Соответствующие углы этих треугольников равны. А длины сторон исходного треугольника будут равны 0,8 от длин соответствующих сторон нового треугольника.
Тогда отношение a/c будет таким же, как d/f. И, соответственно, b/c = e/f, a/b = d/e. Размеры сторон треугольников изменились, а отношение длин сторон осталось прежним. Почему?
Логично предположить, что отношение длин сторон треугольника зависит от размеров углов треугольника, углы не изменились, вот и отношение длин сторон осталось прежним. Это очень важное утверждение. Вдумайтесь, мы считаем, что есть связь между линейными и угловыми величинами. Но какая эта связь?
Возвращаемся к задаче определения параметров прямоугольного треугольника по одной стороне и одному непрямому углу. Пусть нам заданы: длина гипотенузы и размер угла β.
Представьте себе, что для каждого размера β нам известно число, которое при умножении на длину гипотенузы c дает в результате длину катета a. Магия на этом не заканчивается. По величине β мы можем получить еще один коэффициент, который при умножении на c дает в результате длину катета b.
А если нам заданы β и a. При помощи всё того же коэффициента k₁ мы получаем значение c = a/k₁ и с помощью еще одного прежнего коэффициента k₂ определяем b = ak₂/k₁. Мы только что познакомились с функциями косинус и синус. k₁ — это косинус, k₂ — синус.
Две исходные тригонометрические функции — косинус и синус — это просто безразмерные величины, которые пропорциональной зависимостью связывают длины катетов и гипотенузы. Это обычные коэффициенты пропорциональности. Ничего больше.
Для каждого значения угла свое значение коэффициента, поэтому речь идет о функции. Для обозначения этих функций придумали написание sin(β) и cos(β). А могли придумать какое-нибудь однобуквенное обозначение, например ε(β) и ζ(β). По мне, так было бы лучше. Меньше путаницы. Но это я отвлекся.
Классические определения. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Синус угла — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Заметили, в числителе располагается величина меньше, чем в знаменателе, ведь катет всегда меньше гипотенузы. Это сделано преднамеренно, потому что результат от деления в этом случае будет находиться в диапазоне от 0 до 1.
Найдем длину катета a через длину гипотенузы c и размеры двух разных непрямых углов. Нетрудно заметить, что косинус одного непрямого угла равен синусу второго непрямого угла. И это логично, ведь в обоих случаях это один и тот же коэффициент пропорциональности k₁. Тогда косинус угла β равен синусу угла с размером (90° - β), а синус угла θ равен косинусу угла с размером (90° - θ).
Или, абстрагируясь от углов прямоугольного треугольника, мы можем сказать, что для любого угла γ размером меньше четверти оборота (пока мы доказали зависимость только для этого диапазона):
cos(γ) = sin(90° - γ)
и
sin(γ) = cos(90° - γ).
Вспоминая измерение угловых величин в радианах:
cos(γ) = sin(π/2 - γ)
и
sin(γ) = cos(π/2 - γ).
Снова возвращаемся к нашей задаче. Хорошо. Мы придумали определять длину катета a через известную длину гипотенузы c по формуле a = c*cos(β). А значение cos(β) для известного нам угла β мы откуда получим? Да просто возьмем специальный калькулятор и вычислим. Шучу, конечно.
Понятно, что значения косинусов и синусов для различных значений углов необходимо определить заранее. Сегодня, это уже без шуток, вы можете получить значение любой тригонометрической функции с помощью специальных калькуляторов. А как люди решали этот вопрос 60 или 100 лет назад?
С помощью особых таблиц. Для значений углов, записанных с определенным шагом, например, в 1°, в этих таблицах располагались заранее подсчитанные значения косинуса и синуса. Если было необходимо получить значение cos(43,6°), брали значение при 43° и 44°, вычисляли разницу между ними, и 0,6 этой разницы отнимали от значения cos(43°). Строго говоря, это неправильно, потому что закон изменения косинуса нелинейный и cos(43,6°) = 0,72417, но для практических расчетов результат годился.
А откуда появлялись числа, которые заносили в таблицу? Во-первых, мы помним, что, определив значения косинуса от 0° до 90°, мы автоматически получаем и значения синуса для этого диапазона, ведь cos(β) = sin(90°-β), то есть работа сокращается в четыре раза. Во-вторых, какие-то значения можно получить, рассматривая различные варианты треугольников. Например, при делении равностороннего треугольника на два прямоугольных треугольника можно узнать, что cos(60°) = sin(30°) = 1/2. Или равнобедренный прямоугольный треугольник совместно с теоремой Пифагора позволяют узнать значение cos(45°) = sin(45°) = √2/2.
Но в основном эти значения приходилось вычислять. Можно через составление чертежа и деления длины катета на длину гипотенузы (очень неточный способ), наверное, так поступали в древности, а можно использовать числовые ряды. В настоящее время таблицы косинусов и синусов не используются, но у меня на книжной полке до сих пор стоит «Справочник по математике» Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., в котором есть такие таблицы.
Почему я назвал косинус и синус исходными тригонометрическими функциями? Потому что есть еще четыре производных от них функции и шесть обратных функций, при том, что сами косинус и синус зависимы друг от друга, помните cos(β) = sin(90°-β). Какие еще тригонометрические функции существуют? Это тангенс tg(β) = sin(β)/cos(β), котангенс ctg(β) = cos(β)/sin(β), секанс sec(β) = 1/cos(β) и косеканс cosec(β) = 1/sin(β). Зачем так много? Ведь они все зависимы друг от друга.
Ответ лежит на поверхности. Тригонометрические функции настолько плотно применяются в математике, физике и инженерных расчетах, что с целью экономии записей и времени на каждый возможный вариант определения параметров прямоугольного треугольника существует своя отдельная функция. Объясню на примерах. Все треугольники в примерах равны.
Самый первый уже использовавшийся пример. Известны: угол, прилежащий к катету a, и длина гипотенузы. Длину катета a находим через косинус угла, а длину катета b — через синус. Я намеренно использую коэффициенты пропорциональности k₁ и k₂, чтобы в очередной раз подчеркнуть природу функций синус и косинус.
Второй пример. Известны: угол, прилежащий к катету b, и длина гипотенузы. Это, по сути, повтор предыдущего примера, и коэффициенты k₁ и k₂ те же самые. Длину катета a находим через синус угла, а длину катета b — через косинус.
Третий пример. Известны: угол, прилежащий к катету a, и длина катета a. Длину гипотенузы мы находим через функцию секанс угла, а длину второго катета — через тангенс угла.
Четвертый пример. Известны: угол, прилежащий к катету b, и длина катета a. Длина гипотенузы равна произведению длины катета a на косеканс угла θ. Длина катета b находится как произведение длины a на котангенс θ.
Пятый пример. Известны: угол, прилежащий к катету b, и длина катета b. Длина гипотенузы равна произведению длины катета b на секанс угла θ. Длина катета a находится как произведение длины b на тангенс θ.
Шестой пример. Известны: угол, прилежащий к катету a, и длина катета b. Для определения длин гипотенузы и второго катета используем функции косеканс и котангенс.
Легко заметить, что при различных вариантах известных параметров прямоугольного треугольника для определения длин всех его сторон мы задействовали все шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Хотя, как мы видим, это разнообразие базируется всего на двух коэффициентах, которые связывают длины катетов с длиной гипотенузы. Очень важно это понимать и помнить, что за всей этой мозаикой тригонометрических функций стоят два взаимозависимых значения, свои для каждого размера угла.
Я уже неоднократно упоминал, что коэффициенты взаимозависимы, но при этом в примерах с упорством использовал оба коэффициента. Почему? Потому что связь между этими значениями нелинейная, и использование только одного из двух коэффициентов никак не упростило бы иллюстрацию, а, напротив, усложнило. А какая эта связь?
Если мы в известном выражении, связывающем длины всех сторон прямоугольного треугольника, заменим длины катетов через произведение гипотенузы и коэффициентов пропорциональности, да еще примем длину гипотенузы за единицу, мы легко получим эту зависимость.
a² + b² = c²
(c × k₁)² + (c × k₂)² = c²
(k₁)² + (k₂)² = 1²
Теперь заменим коэффициенты на принятые обозначения для некого угла γ (пока предполагаем, что 0° < γ < 90°, другого мы не доказали):
cos(γ)² + sin(γ)² = 1
На сегодня, пожалуй, всё. Об обратных тригонометрических функциях и подробнее о прямых функциях поговорим в следующие несколько раз.
Удачи вам. Дерзайте.
