Данная статья является переработанной текстовой версией опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Сегодня поговорим о градусах и радианах. Начнем с понятия - угол.
Если два луча, принадлежащие одной плоскости, выходят из одной точки, то они образуют плоский угол. Для нас плоскостью является экран. Точка, из которой выходят лучи, - это вершина угла, а лучи - его стороны. Два луча и вершина образуют на плоскости два угла: один меньше, другой больше. Вершина красная, лучи оранжевые, один угол - светло-голубой, другой - серый.
Углы равны, когда лучи лежат на одной прямой. Когда лучи совпадают, есть только один угол, а второй равен нулю.
А как измерить угол? Как мы измеряем прямые отрезки? Люди договорились о неком эталонном отрезке, который назвали метром, и стали измерять линейные размеры пропорционально этому эталону.
Логично, что эталоном для измерения угла должен быть какой-то конкретный угол. Давайте разбираться какой. Прежде всего, определимся с диапазоном изменения плоского угла. Помните, один угол равен нулю, а второй занимает всю плоскость.
Зафиксируем одну сторону угла и будем менять размер угла с помощью второй стороны. При этом на изменяемой стороне поместим синюю точку и понаблюдаем за траекторией ее движения. Точка описывает окружность с центром в вершине угла. Получается, что, в отличие от линейных размеров, угловые размеры изменяются в строго определенном диапазоне от нуля (когда угла нет) до одного полного оборота.
Это означает, что измерять угол необходимо в долях от полного оборота, или кусочками дуги окружности.
Для этого рассмотрим центральный угол. Если центр окружности является вершиной угла, угол называется центральным. Естественно, что таких углов два, но мы для простоты будем рассматривать меньший угол. Центральный угол своими сторонами выделяет некую дугу на окружности.
Разделим окружность на 360 участков. Угол в один градус, который приняли за эталон, нарезает дугу окружности, равную одному такому участку. То есть вся окружность в угловых величинах равна 360 градусов.
Есть несколько версий, почему окружность решили разделить именно на 360 частей, но сейчас для нас это неважно. Просто запомним число 360. Угловой градус обозначается знаком маленькой окружности.
Естественно, что градус, как и метр, можно дробить на части. Вы можете это делать, используя как запись через простые дроби, так и десятичные. Например, 39 с осьмушкой градусов или 39 целых 125 тысячных градуса. Но в отличие от метра, градус имеет еще одну общеупотребительную систему деления на части.
Это минуты и секунды. Полная аналогия с подсчетом времени. В каждом градусе 60 минут, в каждой минуте 60 секунд. Для обозначения минут применяют один штрих, для секунд - два штриха.
Конечно, правильно говорить 78 градусов 5 угловых минут и 20 угловых секунд, но чаще всего из контекста понятно, что речь идет именно об угловых величинах, а не временных, поэтому уточнение "угловые" можно опускать.
А как это записать в десятичных дробях? Мы помним, что одна минута равна одной шестидесятой градуса, а секунда - одной трех тысяч шестисотой. Приведем к общему знаменателю, сложим простые дроби, а результат переведем в десятичную дробь.
Все, что мы рассмотрели перед этим, очень логично и рационально, и в повседневной жизни закрывает все вопросы, связанные с измерением и вычислением угловых величин. Ну, может быть, минуты с секундами немного лишние.
Но это еще не конец. Есть способ измерения угловых величин в радианах. Что такое один радиан? Это еще один эталон наравне с градусом для измерения угловых величин. Как мы его получаем, и чему он равен?
Мы измеряем угловые величины кусочками дуги окружности. Помните, для получения градуса мы делили длину окружности на 360 равных частей. Никакого физического смысла в этом нет, это вопрос выбора и все. Люди могли делить окружность и на 420, и на 480 частей. С радианами не так.
Что необходимо, чтобы однозначно определить окружность? Плоскость, точка на этой плоскости, которую мы определим как центр окружности, и радиус окружности. Плоскость абстрактна у нее нет размеров. Точка тоже безразмерное понятие. Выходит, у окружности есть одно реальное физическое измерение - это радиус (диаметр - величина зависимая, он равен двум радиусам).
Поэтому, если мы хотим измерять углы, используя свойства самой окружности, логично выбрать за образец центральный угол, который выделяет на окружности дугу размером в один радиус. Сектор круга, который получается в этом случае, равносторонний. Все его стороны равны радиусу окружности, образующей круг.
Итак, центральный угол в 1 радиан выделяет дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности. При этом возникает резонный вопрос: зачем измерять угловые величины в радианах?
Действительно, какая разница, если угол равен 20,35 градусов или 0,355 радиан, причем это приблизительное равенство.
Дальше больше, целое число 30 градусов в радианах приблизительно равно дробному числу 0,524. Ерунда какая-то, очень неудобно, разве что в языках программирования углы всегда измеряются в радианах. Но программировать люди начали лет 50 назад, а радианы придумали более 300 лет назад. Зачем использовать радианы, которые дают приблизительное значение угла, вместо градусов, которые, в случае целых значений, дают точный результат.
Давайте разбираться. Угол в один градус - это величина, связанная с длиной окружности. А чему равна длина окружности? Диаметру увеличенному приблизительно в 3,14 раза. Абсолютно точное значение этого коэффициента нам не важно. Вряд ли в повседневной жизни нам потребуется точность более чем в пять знаков после запятой, а именно 3,14159.
Но математика - точная наука, и она должна дать однозначный ответ на вопрос, во сколько раз длина окружности больше диаметра. Оказывается, мы не можем получить точного значения этого коэффициента. Записать его в качестве простой дроби невозможно, а десятичная дробь дает бесконечный результат. Правда, мы можем получить значение с заранее определенной точностью, скажем, пятьсот знаков после запятой. Понятно, что для практического применения этого хватит с лихвой, но как быть с утверждением, что математика - точная наука? Получается, как только в наших расчетах возникает длина окружности или ее составляющие, мы не можем получить точный ответ?
Как всегда математики нашли изящный выход. Они назвали математическую постоянную, которая равна результату деления длины окружности на ее диаметр, числом пи. Обозначили ее через букву греческого алфавита пи и стали использовать эту постоянную в расчетах.
С таким подходом утверждение, что длина окружности равна два пи R, это абсолютно точное утверждение. А когда мы хотим получить конкретное значение длины окружности, необходимо подставить в это выражение значение радиуса и значение числа пи с необходимым нам количеством знаков после запятой.
Количество знаков мы выбираем исходя из необходимой нам точности. Для определения количества кирпичей при строительстве круглой клумбы нам и 3,14 будет много, а для изготовления микроскопических деталей ювелирного изделия может понадобиться и 3,1415.
А теперь вернемся к углу в один градус. Получается, что это приблизительная величина, потому что определить длину дуги как одну трехсот шестидесятую от длины окружности абсолютно точно мы не можем. Конечно, это не означает, что нельзя пользоваться градусами для определения угловых величин. Просто нужно понимать, что это некое приближенное значение.
А вот угол в один радиан - абсолютно точная угловая величина, поскольку дуга окружности, которую отсекает центральный угол величиной в один радиан, равна радиусу этой окружности. Именно поэтому в математике используют измерение угловых величин в радианах.
Обозначается радиан как сокращение "рад". Часто радианы используют вообще без обозначения, просто записывая число.
А в повседневной жизни используют градусы, тем более что их и придумали именно для применения в ремеслах и строительстве.
Чему равен угол в один радиан в градусах? И наоборот, угол в один градус в радианах? Это просто.
Длина дуги, которую отсекает угол в 1 радиан, равна радиусу. Вся длина окружности в угловом измерении 2 пи. Длина дуги, которую отсекает угол в 1 градус, составляет одну трехсот шестидесятую часть длины этой окружности. Следовательно, длина окружности в градусном измерении составляет 360 градусов.
Отсюда 1 радиан равен частному от деления 180 на пи.
Теперь, выбирая значение пи с заданной точностью, можно определить количество градусов в одном радиане. Если пи 3,14, то в радиане 57,325 градусов, если пи 3,14159, то в радиане 57,296 градусов.
Аналогично, 1 градус частное от деления пи на 180.
При пи 3,14 один градус 0,017 радиан, а при пи 3,14159 один градус те же 0,017 радиан, потому что результаты этих двух выражений начинают отличаться только на пятом знаке после запятой.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
