В этой статье продолжение рассказа о тригонометрических функциях. Начало найдете в статьях:
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Итак, в предыдущей статье мы построили графики функций синус и косинус и установили, что графики этих двух функций идентичны по форме кривой графика, просто сдвинуты по оси абсцисс на величину π/2. Поэтому мы можем остановиться на рассмотрении только графика функции синус, внешний вид которого получил название синусоида.
При построении синусоиды в предыдущей статье мы могли заметить, что ее форма как бы «сжимается» или «растягивается» в зависимости от масштаба единицы измерения по оси x. И это естественно. Вопрос в том, есть ли некие устоявшиеся традиции при выборе масштаба для угловых величин. Ведь обычно при построении графиков алгебраических функций, например, параболы или гиперболы, масштаб по оси x и y совпадает. Иногда это правило нарушают, но по умолчанию предполагается именно так. А как быть с угловыми величинами?
Если по оси абсцисс откладывать угловые величины, измеряемые в радианах, то вполне возможен вариант, когда единичный отрезок по оси ординат будет равен отрезку в 1 радиан по оси x. Этот вариант представлен на рисунке выше.
Но если использовать способ измерения угловых величин в градусах, придется субъективно принимать решение, какое количество градусов соответствует длине единичного отрезка по оси ординат.
На этом рисунке построены две синусоиды. У синей синусоиды отрезок, обозначающий 90°, равен единичному отрезку по оси y, для зеленой синусоиды отрезок такой же длины соответствует 180°. При этом диапазон изменения аргумента, который уместился на рисунке, у зеленой синусоиды три оборота, а у синей — полтора. Вывод. Единственным критерием выбора масштаба по осям x и y является информативность рисунка.
Я не буду проводить анализ синусоиды, как это принято при исследовании функции. Отмечу лишь несколько важных свойств.
Напомню. Периодическая функция — функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.
Функции sin(x) и cos(x) периодические. То есть существует такой диапазон изменения аргумента, в котором эти функции достигают все свои возможные значения, как будто аргумент не ограничен конкретным интервалом, а принадлежит всей области определения.
Если мы случайным образом «вырежем» кусок синусоиды длиной 2π по оси абсцисс, то эта вырезанная кривая будет тиражироваться бесконечное количество раз влево и вправо от места «вырезки». 2π — период функций sin(x) и cos(x).
Получается, что
sin(x) = sin(β ± 2πk), где -∞ ≤ x ≤ +∞, 0 ≤ β ≤ 2π, k - целое число.
Еще о свойствах функций. Функция называется четной, если выполняется равенство: f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции. Если справедливо равенство: f(-x) = -f(x) для любого x из области определения функции, то функция нечетная. Для функций общего вида оба равенства не выполняются.
Легко заметить, что cos(-a) = cos(a), а sin(-a) = -sin(a). И еще cos(-b) = cos(b), а sin(-b) = -sin(b). Отсюда вывод, что функция cos(x) - четная, а функция sin(x) - нечетная.
Рассмотрим функцию sin(x) в диапазоне изменения аргумента от 0 до 12π. Как я уже неоднократно упоминал, значения функции будут принадлежать области от -1 до +1.
Увеличим значения функции синус на постоянную величину A = 3, которую назовем амплитудой. Вполне ожидаемо внешний вид итоговой функции претерпит изменения и немного вытянется по оси y. А диапазон значений такой функции теперь будет от -3 до +3.
Пойдем еще дальше. Будем считать амплитуду тоже функцией от аргумента x, например, квадратичной. Исходная синусоида очень сильно изменится.
Можно продолжать сколько угодно экспериментировать с видом функции y(x), для которой определяющую роль играет функция sin(x).
Я привел эти примеры как иллюстрацию богатых возможностей функций синус и косинус. К сожалению, остальные тригонометрические функции — тангенс, котангенс, секанс и косеканс — такими свойствами похвастаться не могут. Это и понятно. Эти функции вторичны и были придуманы исключительно для сокращения количества действий при вычислении сторон геометрических фигур через угловые величины.
А в чем причина ограниченности этих функций?
Все они содержат в своем определении операцию деления. Поэтому при величине знаменателя ноль функция не имеет значения. Говорят, что она терпит разрыв.
Поскольку функции синус и косинус, которые содержатся в знаменателе рассматриваемых выражений, даже на четверти оборота достигают нулевого значения, понятно, что тангенс, котангенс, секанс и косеканс могут быть непрерывными только в ограниченном диапазоне аргумента.
А вот значение самих функций, кроме точек разрыва, ничем не ограничено. Этот диапазон от -∞ до +∞.
На рисунке синим цветом представлены графики функций tg(α), а коричневым — ctg(α). Естественно, эти две функции полностью идентичны друг другу, и между ними присутствует сдвиг на π/2 по оси абсцисс. Они тоже периодические, но их период равен π.
На этом рисунке синим цветом обозначены графики функций секанс, а коричневым цветом косеканс. Снова можно видеть, что эти функции идентичны, если применять к ним сдвиг на π/2 по оси абсцисс. А вот период этих двух функций равен 2π, поскольку в своем определении они содержат либо синус, либо косинус, у которых период тоже 2π.
Использовать функции, графики которых имеют разрывы, также интересно, как мы это делали с синусоидой, не представляется возможным. Поэтому эти функции слабо применяются в различных отраслях науки и техники.
Для законченного рассказа о прямых тригонометрических функциях необходимо упомянуть о просто огромном количестве тригонометрических тождеств. Что это такое?
Точно так же, как люди придумали запоминать результат многократного сложения одного и того же числа и назвали это таблицей умножения, для различных вариантов выражений, составленных из тригонометрических функций, заранее преобразовали эти выражения к более удобному виду.
Например, формулы сложения и разности аргументов.
Еще раз повторю, тригонометрических тождеств великое множество, и я не буду разбирать их в рамках этой статьи. Да это и физически невозможно ввиду объемности материала.
Поэтому на сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
