Это текстовая переработанная версия двух видео с этого же канала:
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Поговорим о признаках равенства треугольников.
Если соединить три точки, не лежащие на одной прямой, тремя отрезками, получим треугольник. Точки — это вершины треугольника. Получается, треугольник имеет шесть измеряемых параметров. Размеры трех углов и длины трех сторон. На самом деле, эти шесть параметров не главное, это второстепенные понятия.
Треугольник определяют его три вершины. Взаимное расположение этих трех точек относительно друг друга — это главное. Отрезки просто соединяют точки, а углы информируют, какая часть полного оборота помещается между сторонами треугольника.
Поэтому, когда мы говорим, что два треугольника равны, это означает, что взаимное расположение вершин у этих двух треугольников одинаковое. Проще говоря, если мы совместим эти треугольники, их вершины совпадут.
Понятно, что когда все шесть упомянутых значений одного треугольника равны шести значениям другого, то такие треугольники равны между собой. А можно ли установить равенство двух треугольников, используя не шесть параметров, а меньше? Давайте разбираться.
Прежде всего, освежите в памяти определения плоского угла и его биссектрисы. Чтобы не повторяться, отсылаю вас к статье "Биссектрисы треугольника", в ее вводной части разбираются эти понятия.
Кроме того, напомню, что при пересечении двух прямых вертикальные углы равны. Два фиолетовых угла (на левом рисунке) — вертикальные, два зеленых тоже. А еще, если две параллельные прямые пересекаются секущей прямой, накрест лежащие углы равны (правый рисунок).
А теперь вернемся к треугольнику. Начнем с углов. Если у двух треугольников равен только один угол, это не означает равенства треугольников. Думаю, понятно, что все это разные треугольники, хотя у них у всех одинаковый зеленый угол.
А что насчет равенства двух углов? Легко заметить, что если мы выбираем любые два угла треугольника, у этих углов одна сторона общая.
Возьмем два угла, каждый из которых меньше четверти оборота, то есть меньше девяноста градусов,
и расположим их так, чтобы одна сторона у обоих углов была общей. Две других стороны обязательно пересекутся и образуют третий угол какого-то получившегося треугольника.
Сдвинем исходные углы ближе, точка пересечения изменила свое положение, а размер угла остался тем же. Ведь мы помним, что вертикальные углы равны. А еще помним, что накрест лежащие углы, образованные секущей и двумя параллельными прямыми, тоже равны.
Увеличим расстояние между вершинами исходных углов, снова точка пересечения другая, а угол прежний. Получается, если у двух треугольников равны два угла, то у этих треугольников равны все три угла. Опытным путем мы подтвердили известный факт, что сумма внутренних углов треугольника всегда одна и та же. И мы знаем, что эта сумма равна половине оборота или ста восьмидесяти градусам. Если хотите доказательство этого факта, найдете его в статье "Признаки подобия треугольников".
Мы пришли к выводу, что сравнение двух треугольников по двум углам, это равнозначно их сравнению по всем трем углам. А равенство двух или, что одно и тоже, трех углов одного треугольника углам второго треугольника означает, что треугольники равны? Конечно, нет.
Вспомните наши манипуляции с углами. Углы у треугольников были равны, а сами треугольники разные. Почему так? Еще раз напомню, треугольник определяется взаимным расположением вершин относительно друг друга.
Выберем на плоскости три произвольных точки. Как задать их расположение относительно друг друга? Конечно, расстоянием между этими точками или, по-другому, длинами отрезков, которые построены на этих точках. Эти три величины однозначно определяют взаимное расположение трех точек на плоскости, а значит, если у одного треугольника три стороны равны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем это.
Имеем произвольный треугольник с красной, зеленой и синей сторонами. Необходимо доказать, что эти цветные отрезки собираются в треугольник единственно возможным способом.
Выберем на плоскости произвольную точку. Начинать построение можем с любого отрезка. Пусть это будет красный. Длина красного отрезка задает нам множество точек, которые отстоят от нашей произвольной точки на размер красного отрезка.
Такое множество равноудаленных точек — это окружность с радиусом, равным длине красного отрезка, и центром окружности в нашей произвольно выбранной точке.
Будем считать, что центр окружности — это зеленая вершина исходного треугольника. Мы могли назначить ее и синей, а вот красная вершина уже недопустима, потому что мы построили окружность с радиусом, равным красной стороне треугольника.
Теперь на окружности выберем произвольное расположение для синей точки и построим красную сторону треугольника. Множество точек, равноудаленных от синей точки на длину зеленого отрезка, — это зеленая окружность.
Но выбрать на этой окружности произвольную точку и назначить ее красной вершиной мы не можем. Потому что красная точка должна отстоять от зеленой точки на длину синего отрезка.
Поэтому мы строим множество точек, отстоящих от зеленой точки на расстояние, равное длине синего отрезка, — это синяя окружность. Пересечение синей и зеленой окружностей дает нам две красных точки, каждая из которых находится на расстоянии длины синего отрезка от зеленой точки и на расстоянии длины зеленого отрезка от синей точки.
Вот так штука. Я обещал построить единственный треугольник, а получил два. Почему? Дело в том, что я не обещал построить единственный треугольник, я утверждал, что заданные отрезки собираются в треугольник единственно возможным способом. Если мы докажем, что два получившихся треугольника равны друг другу, то я окажусь прав.
Давайте рассуждать. Три стороны двух треугольников равны. Осталось доказать, что равны их внутренние углы.
Красный отрезок делит пополам зеленый угол, который образуют два синих отрезка. Почему так? Cнова отсылаю к началу статьи "Биссектрисы треугольника".
По тем же соображениям указанной статьи, красный отрезок делит пополам фиолетовый угол.
Итак, мы установили, что фиолетовые и зеленые углы двух треугольников равны. И, конечно, равны красные углы, помните про сумму внутренних углов треугольника. То есть у двух построенных треугольников равны все шесть параметров: углы и длины сторон. Эти два треугольника идентичны.
Мы доказали, что если длины трех сторон одного треугольника равны соответствующим длинам сторон второго треугольника, то эти треугольники равны. Это третий признак равенства треугольников. Почему третий? Не спрашивайте. Не знаю.
Необходимо отметить, что мы легко построили единственно возможный треугольник по трем заданным сторонам, потому что треугольник с такими сторонами существовал, мы его предварительно начертили. Но если длины двух любых сторон треугольника в сумме дают величину меньшую, чем длина третьей стороны, то такой треугольник не существует. Его стороны не пересекутся. Надеюсь, это понятно.
У любого треугольника одна сторона как бы скрепляет две других, чтобы они не разъезжались в стороны и не складывались, если вращать их относительно точки пересечения. Но роль такого ограничителя может играть и угол между этими сторонами. Если мы задаем конкретное значение угла, то его стороны всегда строго зафиксированы относительно друг друга.
Докажем, что если задан угол и два отрезка на его противоположных сторонах, у которых общая точка в вершине угла, то три несовпадающие точки имеют единственно возможное взаимное расположение.
Выбираем две произвольных точки на плоскости, строим два луча из каждой точки так, чтобы получился угол, равный заданному. На сторонах углов откладываем заданные отрезки. У нас только два варианта разместить эти отрезки на лучах, образующих угол. Никаких других вариантов нет.
Совместим эти варианты. Поскольку два красных угла равны, то зеленая сторона это биссектриса нового угла, размер которого в два раза больше изначально заданного угла.
Снова вспоминая свойства биссектрисы, приходим к выводу, что красные отрезки равны. То есть равны все три стороны обоих треугольников. Мы получили два одинаковых треугольника и доказали первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
По трем и двум сторонам признаки равенства установили, что насчет одной стороны? Есть и такой признак. Будем доказывать, если сторона треугольника и два прилежащих к ней угла равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны. Это второй признак равенства треугольников.
Фактически нам надо доказать, что два заданных угла, имеющих одну общую сторону, с вершинами, находящимися на заданном расстоянии друг от друга, пересекаются своими вторыми сторонами в единственно возможной точке. Другими словами, две вершины и точка пересечения сторон угла имеют единственно возможное взаимное расположение.
Из четырех возможных вариантов соединения двух углов два способа являются копиями, которые получаются, если оригинал повернуть на некоторый угол. Итого только два варианта.
Совместим уникальные варианты. Одна сторона у треугольников общая. Другие стороны треугольников образуют углы, для которых красная сторона — биссектриса, потому что зеленые и фиолетовые углы равны друг другу.
Как и прежде, свойства биссектрисы приводят нас к выводу, что синие и зеленые отрезки равны. Мы доказали второй признак равенства треугольников.
Мы установили три признака равенства треугольников. Первый признак: по равенству двух сторон и угла между ними. Второй: по равенству одной стороны и двух углов, прилежащих к этой стороне. Третий признак: по равенству всех трех сторон.
При этом открытым остался вопрос, почему не равны треугольники, у которых равны две стороны и угол, который не находится между ними. А еще почему не равны треугольники, у которых равна одна сторона и два угла, один угол прилежащий, а другой противолежащий указанной стороне. Давайте разбираться.
Построим треугольник с двумя заданными сторонами и углом, прилежащим к зеленой стороне. Докажем, что эти условия приводят к построению уникального треугольника. Выбираем на плоскости произвольную точку. Строим заданный угол с вершиной в этой точке. На любой из сторон этого плоского угла откладываем прилежащую к углу сторону исходного треугольника, в нашем случае зеленую. Зеленая сторона в красной точке пересекается с синей стороной.
Множество точек, отстоящих от только что построенной красной точки на длину синего отрезка, — это синяя окружность. Ее радиус равен длине синего отрезка, а центр расположен в красной точке.
Две зеленых точки пересечения окружности и стороны угла позволяют нам построить два разных треугольника, каждый из которых соответствует изначальным условиям. Вывод: исходных условий недостаточно для равенства треугольников.
Однако, рассматривая все возможные варианты треугольников, мы можем заметить, если размеры подобраны так, что синяя окружность будет иметь одну общую точку со стороной угла, то треугольники с такими параметрами будут равны.
Но этот частный случай — повторение первого признака равенства треугольников, ведь синяя сторона в этом случае перпендикулярна стороне угла. И мы имеем прямоугольный треугольник с тремя известными углами. Поскольку нам задан размер синего угла, известен прямой угол и, как следствие, известен угол между зеленой и синей сторонами треугольника. Это и есть первый признак равенства треугольников. Его мы уже доказали.
А если нам задан угол, прилежащий к синей стороне? Снова построим заданный угол и отложим на любой его стороне синюю сторону треугольника. Зеленая окружность с радиусом, равным длине зелёной стороны, и с центром окружности в красной точке, пересекает сторону угла только один раз. И мы получаем единственно возможную синюю точку и, как следствие, единственно возможный треугольник.
Но есть еще вариант размещения синего отрезка на другой стороне угла. Построим еще один плоский угол. Разместим синий отрезок на другой стороне, опять получим единственную точку пересечения окружности и стороны угла. Необходимо убедиться, что полученные треугольники равны.
Совместим рисунки. Синяя сторона общая для двух треугольников и является биссектрисой для нового угла размером в два раза больше заданного. Вспоминаем свойства биссектрисы и приходим к выводу, что нецветные отрезки равны. Все три стороны треугольников равны, следовательно, равны и треугольники.
Получается, равенство двух сторон треугольника и угла, не лежащего между ними, в одном случае гарантирует равенство таких треугольников, а в другом — нет. Как так? Чем отличаются эти условия.
Если мы внимательно посмотрим на наши построения, то заметим, что в первом случае у нас были две точки пересечения окружности и стороны угла, а во втором случае только одна точка. Потому что во втором случае радиус окружности превышал длину отрезка, отложенного на стороне угла.
Поэтому, если у двух треугольников равны две стороны и угол, расположенный напротив большей из этих сторон, то такие треугольники равны. Вот так мы получили дополнительный признак равенства треугольников в добавок к уже известным нам трем признакам.
Осталось убедиться, что равенство одной стороны и двух углов, из которых только один прилежащий, не преподнесет нам никаких сюрпризов. Смотря что считать сюрпризом.
Мы знаем что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. И я уже отмечал, что задание размеров любых двух углов треугольника эквивалентно заданию размеров всех трех углов. Следовательно, если у двух треугольников равны соответствующие стороны и любые два угла, то такие треугольники равны. Потому что в этом случае мы имеем второй признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.
Я не случайно употребил слово "соответствующие". На рисунке красные стороны двух треугольников равны, можете поверить на слово, можете проверить линейкой, кроме того, равны любые два угла, что автоматически означает равенство всех трех углов, но это разные треугольники. Поэтому должны быть равны стороны противолежащие одинаковым углам сравниваемых треугольников.
Подытоживая. Два треугольника равны:
- Если у них равна одна соответствующая сторона и два любых угла;
- Если у них равны две стороны и угол между ними.
- Если у них равны две стороны и угол противоположный большей из сторон;
- Если у них равны три стороны.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
