Данная статья является текстовой версией опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Подобными называют треугольники, у которых равны все три угла, а отношения длин сторон, противолежащих равным углам, имеют один и тот же коэффициент пропорциональности. Этот единый для всех сторон показатель называют коэффициентом подобия.
Прежде всего, напомню, что сумма углов треугольника равна половине оборота или 180 градусам. Почему так? Всё очень просто.
Возьмем произвольный треугольник, выберем любую его вершину и проведем через нее прямую, параллельную противолежащей стороне.
Красные углы равны как накрест лежащие углы при пересечении секущей и двух параллельных прямых.
Точно так же равны и фиолетовые углы.
Мы собрали в одном месте все углы треугольника и видим, что их сумма равна половине оборота или 180 градусам. Получается, если два угла одного треугольника равны двум углам другого, это означает, что равны все три угла каждого треугольника.
А как насчет отношения сторон? Вспоминаем: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, прилежащих к этим углам. Доказательство данного утверждения приведено в статье «Отношение площадей треугольников».
Рассмотрим два треугольника, у которых равны два, а значит, все три угла. Обозначим длины сторон первого треугольника через a, b, c, а длины сторон второго — d, e, f. Площади треугольников примем за S₁ и S₂. Тогда отношение S₁ к S₂ дает нам три пары отношений произведений сторон треугольников.
Путем несложных преобразований получаем в результате одинаковые отношения соответствующих сторон двух треугольников, у которых равны два угла.
Таким образом, мы доказали: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, это означает, что такие треугольники подобны. Это первый признак подобия треугольников.
Рассмотрим два треугольника, у которых равен один угол, а стороны, образующие этот угол у одного треугольника, пропорциональны соответствующим сторонам другого.
Выразим длину розовой стороны малого треугольника через длину желтой стороны этого же треугольника и длины зеленых и синих сторон большого треугольника. Это понадобится нам в дальнейшем.
На одном конце желтого отрезка построим красный угол, на другом конце — зеленый, который равен зеленому углу большого треугольника.
Пересечение сторон этих двух углов дает нам третью вершину нового треугольника, который по только что доказанному первому признаку подобия будет подобен большому треугольнику.
Из этого подобия следует, что две стороны нового треугольника, образованные красным углом, пропорциональны сторонам большого треугольника, между которыми находится красный угол. Составим выражение, отражающее это подобие.
Немного модифицируем его. И приходим к выводу, что длины сторон a и e равны. Тогда два малых треугольника равны друг другу, потому что у них равны две стороны и угол между ними. Это первый признак равенства треугольников.
Если из двух равных треугольников один треугольник подобен третьему треугольнику, то другой равный треугольник тоже подобен третьему треугольнику.
Мы доказали подобие исходных треугольников, у которых пропорциональны длины двух сторон, а угол между ними равен. Это второй признак подобия треугольников.
И, наконец, если мы утверждаем, что три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Рассмотрим два треугольника, все стороны которых пропорциональны. Построим третий треугольник, такой, чтобы два его угла (красный и зеленый) были равны двум углам (красному и зеленому) большого треугольника. Мы уже так делали. По первому признаку подобия этот новый треугольник подобен большому треугольнику.
Следовательно, мы можем записать отношения длин сторон этих двух треугольников. Сравнивая эти выражения и предыдущие отношения длин сторон треугольников, легко заметить, что сторона m равна стороне b, а сторона n равна стороне a. Но тогда два малых треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников, потому что у них равны все три стороны.
И снова получается, что из двух равных треугольников один подобен третьему треугольнику, и, следовательно, второй треугольник тоже подобен третьему треугольнику.
Мы доказали, что если все стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны. Это третий признак подобия треугольников.
Необходимо отметить, что, поскольку у подобных треугольников коэффициент подобия распространяется на все три стороны, этот же коэффициент связывает периметры и соответствующие биссектрисы, высоты, медианы и средние линии подобных треугольников. Надеюсь, это понятно. А площади подобных треугольников пропорциональны квадрату коэффициента подобия.
Установленные три признака подобия треугольников пригодятся для доказательства огромного количества теорем.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.