Данная статья является текстовой версией, опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Сегодня поговорим о биссектрисах треугольника. Прежде всего, чем отличается биссектриса плоского угла от биссектрисы треугольника? Плоский угол состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Лучи, как мы помним, с одной стороны ограничены точкой, а с другой простираются бесконечно далеко.
Два луча образуют на плоскости два угла, а в случае, когда лучи совпадают, есть только один угол, размер которого равен полному обороту или 360 градусам.
Биссектриса угла - это тоже луч, исходящий из той же точки, что и стороны угла, и этот луч делит угол пополам. Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Кроме того, если мы на каждой стороне угла укажем точки, равноудаленные от вершины угла, то эти точки будут равноудалены от любой произвольной точки на биссектрисе. Об этом у меня есть видео на этом канале: Биссектриса и осевая симметрия.
Поскольку биссектриса плоского угла - это луч, естественно, что ее не продлевают за вершину синего угла, ведь луч ограничен с одной стороны точкой.
Но если мы построим еще один луч, который будет лежать на одной прямой с уже имеющейся биссектрисой, то получим луч, который делит серый плоский угол тоже ровно пополам. Но биссектрисой такой луч не называют, ведь мы не можем утверждать, что точки этого луча равноудалены от сторон угла. Перпендикуляры, построенные к сторонам угла, пересекаются в одной точке, и эта точка пересечения лежит на биссектрисе меньшего из двух углов.
Однако, мы можем утверждать, что если мы снова построим точки на сторонах угла, равноудаленные от его вершины, то эти точки будут находиться на одном и том же расстоянии от любой точки прямой, которую мы только что построили.
А вот биссектриса треугольника - это не луч, а отрезок. Один конец отрезка - это вершина угла, для которого строится биссектриса, а другой - это точка пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника, противолежащей углу. Понятно, что у треугольника три биссектрисы по количеству его углов. И все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Докажем это.
Построим любые две биссектрисы произвольного треугольника. Стороны треугольника не равны друг другу, все углы разные. Биссектрисы обязательно пересекутся, ведь представить треугольник, биссектрисы которого параллельны, невозможно. Точка пересечения биссектрис обязательно окажется внутри треугольника и не просто внутри, она будет равноудалена от сторон левого угла треугольника и от сторон правого. Понятно, что одна сторона этих углов общая. То есть все три перпендикуляра к сторонам треугольника равны.
Но в этом случае точка пересечения двух биссектрис оказывается равноудаленной от сторон синего угла, иначе говоря, она лежит на биссектрисе синего угла. Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В процессе наших рассуждений выяснилось, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его трех сторон. Получается, если мы построим окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом равным зеленым перпендикулярам, мы получим вписанную в треугольник окружность.
Отсюда вывод, что центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис этого треугольника.
Продолжим рассуждения дальше. Вспоминая свойства биссектрисы угла и учитывая, что зеленые перпендикуляры к сторонам треугольника равны, а длины отрезков от вершины угла до точки пересечения стороны угла и перпендикуляра тоже равны, можно сделать вывод, что биссектриса является биссектрисой и для зеленого угла, то есть делит его пополам.
Тогда две равные части зеленого центрального угла отсекают на вписанной окружности равные дуги.
Аналогичные рассуждения мы можем использовать для двух других биссектрис.
Вывод: дуга, вписанной в треугольник окружности, заключенная между сторонами угла треугольника, делится биссектрисой этого угла на две равных части.
Но и это еще не все. Биссектриса при пересечении с противоположной стороной делит эту сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Что это значит? Соотношение длин пунктирной и сплошной синих сторон такое же, как соотношение длин пунктирной и сплошной зеленых сторон. Естественно, отношение длины синего пунктирного отрезка к длине зеленого пунктирного отрезка такое же, как отношение длин синей и зеленой сторон треугольника. Покажем это.
Продлим биссектрису треугольника за его пределы. Построим перпендикуляры к биссектрисе и ее продолжению из двух вершин, находящихся на сторонах угла, которому принадлежит биссектриса.
Мы получили два прямоугольных треугольника, у которых равны углы, окрашенные в красный цвет, потому что биссектриса делит красный угол пополам.
Вспоминая, что сумма углов треугольника равна половине оборота или 180 градусам, приходим к выводу, если у обоих треугольников равны два угла, то третий угол также равен. Таким образом, все углы двух серых треугольников равны. Значит, эти треугольники подобны.
Из их подобия следует, что отношение длин сторон, расположенных напротив прямого угла, такое же, как отношение длин сторон противолежащих красному углу.
Обратимся к другой паре треугольников. Красные углы равны, как вертикальные углы при пересечении двух прямых. Тогда равны и зеленые углы. Следовательно, два серых треугольника подобны. Поэтому отношение длин перпендикуляров к биссектрисе равно отношению длин пунктирных сторон серых треугольников.
А полученное перед этим соотношение длин синей и зеленой сторон указывает, что соотношение длин пунктирных сторон равно отношению длин сплошных сторон.
Таким образом, мы доказали, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон.
Но и это еще не все. Точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую биссектрису таким образом, что длина сплошного участка биссектрисы относится к длине пунктирного участка так же, как сумма длин синей и зеленой сторон к длине красной стороны. Докажем это.
Рассмотрим темно серый треугольник. Биссектриса синего угла разбивает противолежащую сторону пропорционально длинам зеленой и красной сторон треугольника. Мы это только что доказали. Преобразуем эту зависимость так, чтобы в левой части равенства осталась только длина зеленой стороны. Запомним это выражение.
А теперь проанализируем другой темно серый треугольник. Биссектриса зеленого угла нового треугольника разбивает сторону, противоположную зеленому углу, пропорционально длинам синей и красной сторон этого треугольника. Снова преобразуем выражение, чтобы в левой части равенства осталась только длина синей стороны.
А теперь сложим вместе преобразованные выражения. В правой части равенства вынесем общий множитель за скобку. Вспоминаем, что сумма b1 и b2 - это длина красной стороны исходного треугольника b. Разделим обе части равенства на эту длину b.
В результате получаем, что точка пересечения биссектрис треугольника разбивает биссектрису на две части, соотношение длин которых такое же, как соотношение суммы длин сторон, образующих угол с биссектрисой, и длины стороны, противоположной этому углу. Понятно, что это относится ко всем биссектрисам треугольника, просто в каждом случае это будут свои соответствующие стороны.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
