Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плос-
кости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска
по перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен µ?
Хотя задача может показаться несложной, на деле она абсолютно адская, но из-за того и очень интересная. Первый вопрос - вокруг чего вообще будет вращаться брусок? То ли вокруг центра, то ли вокруг левого конца.
Покрутив пару минут карандаш на столе, к конкретным выводам я не пришел; крутился он как попало, что я списал на несовершенство моих «лабораторных» условий. Но потом меня осенило: неясная ось вращения это не баг, а фича. То есть правильный ответ на этот вопрос - фиг его знает. Это зависит от силы, с которой мы воздействуем на брусок, ведь сама ось зависит от распределения силы трения по нему. То есть для решения придется также найти ось, и только потом силу. Обозначим расстояние от левого края до оси за x. Очевидно одним из условий минимальности силы будет равенство нулю суммы всех моментов сил:
Сила трения, однако, действует не на какую то конкретную точку, она распределена по всему бруску. Поэтому мы сделаем вот что: весь брусок поделим на маленькие кусочки, найдем для одного из них момент силы, а дальше воспользуемся закономерностью в распределении этих кусочков. При этом чем меньше размер, тем больше их количество. При устремлении размера кусочков к нулю сумма моментов сил трения всех таких кусочков стремится к вполне конкретному значению, которое нас и интересует. Увы я не первый, кому эта идея пришла в голову; Ньютон ещё в 17 веке изобрёл инструмент, позволяющий проводить подобные операции - интеграл. Математически решение выглядит так:
Теперь можем подставить результат в уравнение моментов и выразить искомую силу:
Но нам всё ещё неизвестно расстояние до оси вращения. Дело в том, что у нас нет явной зависимости его от других факторов, значит поступим мы следующим образом: переберём все возможные и найдём то, при котором сила будет минимальна. Чтобы не считать каждый вариант вручную, придётся опять воспользоваться изобретением Ньютона. Выражение для силы представляет собой произведение константы (1) и функции от x (2). Эту функцию мы и будем исследовать.
Интуитивно понятно, что такое скорость изменения некоторой функции, что-то вроде «крутизны» её графика. Функции, имеющие минимумы или максимумы, в этих точках - экстремумах(это слово можно забыть) - выглядят как горки:
Так вот скорость изменения функции в такой точке будет равна нулю, это и будет условием минимальности значения функции. Чтобы найти эту скорость изменения, надо чуть-чуть изменить аргумент, в данном случае x, и посмотреть, как изменится значение функции, это характеризует её «чувствительность». Отношением изменения функции к изменению аргумента и будет скорость изменения - производная. И, как и в прошлый раз, при устремлении к нулю изменения x полученная скорость будет стремиться к конкретному значению.
Найдя и приравняв к нулю производную, мы найдём точки экстремума:
Остаётся только посчитать значение силы при минимальном x:
Вот так одна задача включает в себя многие идеи и годы работы учёных из прошлого.