Результаты, представленные ниже, получены мной, когда я ещё учился в школе, в 11-м классе (1998-1999 гг.). Мне тогда показалось странным, что в учебниках математики (по крайней мере, в тех, которые мне доводилось видеть) такая функция как модуль у(x)=|x| не совсем заслужено обделена вниманием в том смысле, что для неё не указаны её производная и первообразная, а потому мной и была предпринята попытка исправить ситуацию.
Производная модуля
Пусть у(x)=|x|. Покажем двумя способами, что при x≠0 (в точке x=0 функция модуля недифференцируема)
Первый способ:
Рассмотрим функцию у=|x| (x≠0). Дадим аргументу x приращение Δx и согласно определению производной найдём предел отношения приращения функции |x+Δx| – |x| к приращению аргумента Δx при Δx→0, воспользовавшись известным тождеством
Итак:
Второй способ:
Для вычисления производной модуля воспользуемся тождеством
Функцию модуля в этом случае можно рассматривать как сложную функцию f(g(x)). Исходя из правила вычисления производной сложной функции можно записать:
Интеграл модуля
Для вычисления первообразной функции у=|x| докажем сначала справедливость следующего равенства при x≠0:
Доказательство:
q.е.d.
Далее, согласно формуле для интегрирования по частям (u=u(x), v=v(x)):
Пусть u=|x|, v=x, тогда:
Первообразная функции (модуля) оказалась выраженной через свою же первообразную. Так как две первообразные функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную C, то последнее полученное равенство следует записать в таком виде:
откуда (C – произвольная постоянная):
В качестве варианта практического применения формулы вычислим через интеграл площадь S заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке:
Нетрудно видеть, что из геометрических соображений она должна составлять S = 2,5. Согласно же полученной формуле для интеграла модуля:
p.s.: Примечательно, что результат получился верным, при этом внутри интервала интегрирования есть точка x=0, в которой функция модуля не имеет производной. Хотелось бы в комментариях увидеть мнение математиков по поводу изложенного в данной заметке.
Источник (URL): http://shurichimik.narod.ru/consideration/04module/module.htm
Перечень публикаций на канале
