Три способа решения одной задачи про равнобедренный треугольник и его медиану

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС с боковой стороной, равной 4 см (АВ=ВС=4 см). Необходимо найти основание треугольника (АС), если его медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см (AD=3 см).

Такой треугольник дан в условии задачи

Решить эту задачу можно несколькими способами.

1 способ - используем подобие треугольников и теорему Пифагора.

Достраиваем чертеж - опускаем перпендикуляры из вершины В и точки D на сторону АС.

Дополняем чертеж

Треугольник ВЕС подобен треугольнику DFC по первому признаку подобия (по двум углам - угол С у этих треугольников общий, а углы ВЕС и DFC равны 90 градусов). Так как точка D - середина стороны ВС (AD - медиана), то:

DC = 0,5ВС = 2 см.

Учитывая подобие треугольников ВЕС и DFC, можно сделать вывод, что:

DF = 0,5BE

Если обозначить BE=h, то DF = h/2

E - середина стороны АС, так как в равнобедренном треугольнике высота BE будет являться медианой и биссектрисой.

Если принять вся длину отрезка АС за х, то ЕС = АЕ = х/2

А из подобия треугольников ВЕС и DFC следует, что и точка F - середина отрезка ЕС, а, значит, EF = FC = x/4

Дальше будем рассматривать два прямоугольных треугольника АВЕ и ADF.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника

По теореме Пифагора в треугольнике ABE:

С помощью теоремы Пифагора можем выразить неизвестный катет

Также по теореме Пифагора из треугольника ADF получим:

Здесь тоже выражаем неизвестный катет

Умножим левую и правую части последнего равенства на 4, получим:

Получили после умножения на 4

Приравняем и найдем х:

Находим х

Так как х = АС, то задача решена.

Другой способ решения этой задачи будет рассмотрен в следующей статье>>