В этой заметке я подобрал типовые и самые сложные задачи на прогрессии (арифметическую и геометрическую) для уровня 9 класса физико-математических лицеев. Похожие задачи встречаются в ОГЭ и ЕГЭ.
Но для начала кратко вспомним определения...
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, из которых разница между любыми двумя всегда остается постоянной величиной, которая обычно называется разницей арифметической прогрессии d .
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой отношение любых двух соседних всегда остается постоянной величиной, которая обычно называется знаменателем геометрической прогрессии q.
Задача 1
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.
Решение:
Сложность может возникнуть в запутанном условии. Мы знаем, что ломанная линия — это геометрическая фигура (чаще всего плоская), состоящая из отрезков, лежащий (в общем случае) на различных прямых (необязательно параллельных). В нашем случае мы имеем такую ломанную спираль. А звено — это кратчайшее расстояние между двумя соседними точками. В этой задаче мы заранее не знаем сколько звеньев. Но можем их посчитать по рисунку, а затем сопоставить с длинной последнего. И вот тут главное не запутаться... Последнее звено равно 10 по длине. Но количеств звеньев в ломанной такого вида равно 20, а не 10 (посчитайте самостоятельно). А значит количество звеньев в ломанной, в которой длина последнего звена 120, будет 240 штук.
Если мы попытаемся составить формулу длины произвольной ломанной, которая начинается с единичного отрезка, то у нас не получится четкая арифметическая прогрессия, потому что у каждая длина будет повторяться два раза: L = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ... + 10 + 10. Значит мы можем выделить только уникальные звенья, посчитать их сумму (сумму арифметической прогрессии), а затем умножить результат на 2.
Мы знаем длину первого, знаем длину последнего звена, а вот количество звеньев n нужно взять в 2 раза меньше, чем реальной количество (т.е. по сути мы берем количество уникальных по длине звеньев). Значит для ломанной на рисунке n = 10, а для ломанной, у которой последнее звено будет 120, количество уникальных звеньев будет n = 120 (а вот количество реальных, т.е. всех звеньев, будет 240... и рисовать её мы конечно же не будем :)
Ещё всю ломанную можно разбить на звенья, содержащие два одинаковых отрезка, тогда мы получим «прямые уголки», длины которых будут увеличиваться на d = 2, а длина всей ломанной будет четко равна сумме арифметической прогрессии, и домножать результат на 2 уже не будет нужно. А теперь перейдем к математике...
Приведу решение полностью:
Задача 2
В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии?
Решение:
Данная задача сложна тем, что решающему может показаться, что нужно просто добавить 4 стула, когда добавляем один новый стол. Но это не так. Ведь два стула (один — от предыдущей конфигурации столов, еще один — от нового стола) мы должны убрать, чтобы иметь возможность придвинуть новый стол к текущей конфигурации столов. Получается 4 - 2 = 2 дополнительных стула. Не понятно? Тогда ещё одно объяснение... другими словами :)
Когда мы добавляем новый стол к текущей конфигурации столов, мы убираем стул с одной стороны конфигурации, чтобы могли придвинуть новый стол. У нового стола есть 3 дополнительных места для стульев. Но так как мы убрали один стул, чтобы добавить один стол, то общее количество дополнительных мест всегда увеличивается на 2.
А теперь рисунок и решение...
Задача 3
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение:
В этой задаче мы сталкиваемся с геометрической прогрессией. Зная формулы n-го члена геометрической прогрессии, мы можем найти нужную нам массу. Для девятиклассников, которые уже знают про закон ядерного распада, задача будет проще, можно будет решить по готовой формуле. А вот для тех, кто не знает про этот закон, важно будет не запутаться с начальными условиями. Покажу чем будут отличаться формулы:
Теперь стоит ещё раз подробно расписать это на формулах...
Задача 4
Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; x ; –13; –25; … .
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Решение:
Это довольно простая задача, но у некоторых учащихся возникают затруднения, когда дана только часть прогрессии, а начало и конец неизвестны. На самом деле, это не мешает найти нужную нам неизвестную. Давайте посмотрим как это сделать:
Задача 5
Найдите бесконечную геометрическую прогрессию { bₙ } , если b₁ + b₂ = 4 и S = 16/3
Решение:
Для данного задания не нужны рисунки, но нужно хорошее понимание геометрической прогрессии. В частности, нужно понимание того, что будет на бесконечности с убывающей геометрической прогрессией. Поэтому нужно хотя бы базовое понимание пределов.
Задача 6
Михаил заключил с банком на срок 5 лет следующий договор. Ежегодно он вносит в банк вклад в размере 10 000 руб., не снимая ранее внесённых средств. В конце каждого года банк начисляет 5% дохода на всю сумму средств, вложенных Михаилом к этому моменту. Сколько рублей он сможет забрать из банка по истечении срока действия договора?
Решение:
Михаил в течение срока договора должен внести 5 раз по 10000 руб. и банк должен 5 раз начислить процент на общую сумму средств на счету Михаила. При этом сумма, находящаяся на счету в момент начисления процентов, увеличится в 1,05 раза.
Здесь стоит внести важное замечание:
При решении любых задач на проценты, в том числе это касается банковских задач из ОГЭ и ЕГЭ, проценты лучше представлять в виде коэффициентов, на которые мы можем умножать числа при их увеличении. Например, увеличение текущей суммы S на 5% соответствует умножению S на коэффициент 1.05.
При этом 10000 рублей, внесенные в банк в первый год, будут находиться на счёте в момент начисления процентов все 5 раз и потому увеличатся в 1,05 раза последовательно в 5 этапов, т.о. эта часть вклада достигнет величины 1000·1,05·1,05·1,05·1,05·1,05 = 1000·1,05⁵.
10000 рублей, внесённые во второй год подвергнутся такому увеличению только 4 раза и достигнут величины 1000·1,05⁴ рублей, а сумма, внесённая в последний год будет увеличена только один раз. Таким образом, мы замечаем следующую закономерность: каждые десять тысяч рублей, пролежавшие на вкладе на год дольше, чем следующие, увеличиваются по сравнению с ними в 1,05 раза. Т.е. мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой q = 1,05, нулевой член прогрессии b₀ = 10000, а первый член прогресии b₁ = 10000·1,05 = 10500. Чтобы найти всю сумму, которую Михаил сможет забрать из банка в конце срока, нужно сложить члены этой геометричексой прогрессии с первого по пятый.
Далее кратко приведем математическое решение:
Замечание. Для полноты представления о прогрессии расчёты здесь проведены с использованием калькулятора. На экзамене такой возможности не будет, поэтому при вычислении qn нужно вспомнить свойства степеней. Например, чтобы быстро вычисить 1,05⁵, степень нужно записать как (1,05²)²·1,05. Тогда получится дважды воспользоваться таблицей квадратов, которая есть в справочных материалах ОГЭ и базового ЕГЭ, и только один раз умножить в столбик. Можно также перейти от десятичных дробей к обыкновенным 1,05 = 105/100 = 21/20.
Задача 7
Представьте в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 2,5(3).
Решение:
Ещё одна интересная задача, которая встречается довольно редко. Здесь важно не начать заниматься угадыванием. Эта задача тоже на геометрическую прогрессиию.
Десятичная дробь 2,5(3) читается так «2 целых 5 десятых и 3 в периоде», т.е. это число 2,53333333333... , где во всех разрядах, начиная с сотых и до бесконечности, стоит тройка. Это число можно записать в виде суммы дробей, часть из которых с определенного момента является суммой убывающей геометрической прогрессии.
Замечание. Самый простой способ переходить от десятичных дробей к обыкновенным – читать число вслух и записывать с делением дробной чертой.
Теперь полное решение:
Ещё я тут вспомнил, что разбирал на своем канале ещё одну сложную олимпиадную задачу, связанную с прогрессиями. Попробуйте её решить в качестве домашнего задания для лучшего усвоения материала.
Задание:
Дан квадрат со стороной 1. В него вписана окружность, в которую рекурсивно вписан точно такой же квадрат. Вложенность идет до бесконечности. Найти площадь закрашенной области, полученной рекурсивным пересечением данных фигур.
А если совсем не будет получаться, то можете прочитать решение здесь:
Решение: Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по математике (для школьников)
На этом сегодня закончим. Надеюсь, что кому-нибудь была полезна данная статья с разбором этих задач. Обязательно пишите комментарии, если что-то непонятно или хотели бы разбор других задач.
Понравилась статья ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram