Задача про медиану и высоту треугольника из советского сборника задач по элементарной математике

Рассмотрим задачу. В треугольнике основание равно 60 см, а высота 12 см и медиана, проведенная к основанию равна 13 см. Определить длины боковых сторон.

Сделаем чертеж к задаче.

Чертеж к задаче

Таким образом, дан треугольник АВС с высотой BH и медианой ВМ. Надо найти длины боковых сторон АВ и АС.

Рассуждать будем следующим образом. Рассмотрим треугольник ВНМ. Он прямоугольный, так как ВН - высота, а, значит, можем применить теорему Пифагора.

Рассматриваем прямоугольный треугольник

Найдем длину отрезка НМ. По теореме Пифагора получим:

Из теоремы Пифагора находим длину отрезка НМ

Так как ВМ - медиана, то она делит сторону АС пополам. Значит, АМ=МС=60/2 = 30.

После этого для нахождения боковых сторон АВ и АС осталось рассмотреть два прямоугольных треугольника: АВН и ВНС.

Рассматриваем два прямоугольных треугольника: АВН и ВНС

Из треугольника АВН получаем:

Находим боковую сторону АВ

В треугольнике ВНС можно найти сторону НС = НМ+МС=5+30=35.

Из треугольника ВНС получаем:

Находим боковую сторону BC

Таким образом, задача решена, длины боковых сторон треугольника найдены.