Задача: Окружность радиуса R вписана в угол величины α. Из точки её касания с одной из сторон угла на другую его сторону опустили перпендикуляр. Найдите длину хорды окружности, лежащей на этом перпендикуляре.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об угле между касательной и хордой ∠ABC = ◡BD/2. На окружности возьмем произвольную точку M (не совпадающую с точками B и D) и соединим её с точками B и D. По теореме синусов для хорд BD/2R = sin ∠BMD, отсюда BD = 2R * sin ∠BMD (см рисунок)
∠BMD = ◡BD/2 ⇒ ∠BMD = ∠ABC ⇒ BD = 2R * sin ∠ABC. Однако, в △ACB: ∠ABC = 90° - α ⇒ BD = 2R * sin (90° - α) = 2R * cos α.
Ответ: 2R * cos α.
Задача решена.
